Euklido geometrija: istorija, pagrindinės sąvokos ir pavyzdžiai
Euklido geometrija atitinka geometrinių erdvių savybių tyrimą, kuriame tenkinamos Euklido aksiomos. Nors šis terminas kartais naudojamas geometrijoms, turinčioms geresnius matmenis su panašiomis savybėmis, jis paprastai yra sinonimas klasikinei geometrijai arba plokščiai geometrijai.
Trečiame amžiuje a. C. Euclides ir jo mokiniai parašė „ Elements“ - kūrinį, apimantį matematinę žinią apie laiką, kuriam suteikta loginė-dedukcinė struktūra. Nuo tada geometrija tapo mokslu, iš pradžių sprendžiančia klasikines problemas ir tapo formuojančiu mokslu, padedančiu priežastį.
Istorija
Norėdami pradėti nuo euklido geometrijos istorijos, būtina pradėti nuo Aleksandrijos ir Elementų Euklidos .
Kai Egiptas buvo Ptolemėjaus I rankose, po Aleksandro Didžiojo mirties jis pradėjo savo projektą Aleksandrijos mokykloje.
Tarp išminčių, kurie mokė mokykloje, buvo Euklidas. Spėjama, kad jo gimimo laikas yra maždaug 325 a. C. ir jo mirties 265 a. C. Mes tikrai žinome, kad jis nuvyko į Platono mokyklą.
Daugiau nei trisdešimt metų Euklidas mokė Aleksandrijoje, kurdamas savo žinomus elementus: pradėjo rašyti išsamų savo laiko matematikos aprašymą. Euklido mokymai davė puikių mokinių, tokių kaip Archimedas ir Pergo Apollonijus.
Euklidas buvo atsakingas už skirtingų klasikinių graikų atradimų struktūrą elementuose, tačiau, skirtingai nei jo pirmtakai, jis neapsiriboja tik tuo, kad patvirtina, kad teorema yra teisinga; Euklidas siūlo demonstraciją.
Elementai yra trylika knygų rinkinys. Po Biblijos ji yra labiausiai išleista knyga, kurioje yra daugiau nei tūkstantis leidinių.
Elementai yra Euklido šedevras geometrijos srityje ir siūlo galutinį dviejų matmenų (plokštumos) ir trijų matmenų (erdvės) geometrijos apdorojimą, nes tai yra tai, ką dabar žinome kaip Euklido geometrija,
Pagrindinės sąvokos
Elementai atitinka apibrėžimus, bendras sąvokas ir postulatus (arba aksiomas), po kurių seka teoremos, konstrukcijos ir demonstracijos.
- Svarbu tai, kad neturi dalių.
- Linija yra ilgis, kurio plotis nėra.
- Tiesi linija yra ta, kuri lygiai lygi su jais esančiais taškais.
- Jei dvi eilutės supjaustytos taip, kad gretimi kampai būtų vienodi, kampai vadinami tiesiais ir linijos vadinamos statmenomis.
- Lygiagrečios linijos yra tos, kurios, būdamos toje pačioje plokštumoje, niekada neišpjaunamos.
Po šių ir kitų apibrėžimų Euklidas pateikia penkių postulatų ir penkių sąvokų sąrašą.
Bendrosios sąvokos
- Du dalykai, kurie yra lygūs trečdaliui, yra vienodi.
- Jei vienodų dalykų pridedama prie tų pačių dalykų, rezultatai yra tokie patys.
- Jei lygūs dalykai atimami lygiai, rezultatai yra vienodi.
- Viskas, kurie sutampa vienas su kitu, yra vienodi.
- Iš viso yra didesnė nei dalis.
Postulatai arba aksiomos
- Dviem skirtingiems taškams - vienas ir tik vienas eilutė.
- Tiesios linijos gali būti neribotos.
- Galite piešti apskritimą su bet kuriuo centru ir bet kuriuo spinduliu.
- Visi teisingi kampai yra vienodi.
- Jei tiesi linija kerta dvi tiesias linijas taip, kad to paties krašto vidiniai kampai yra mažesni nei du stačiakampiai, tuomet dvi tiesios linijos susikerta toje pusėje.
Šis paskutinis postulatas yra žinomas kaip paralelių postulatas ir buvo performuluotas taip: „Už tašką už linijos, mes galime piešti vieną lygiagrečią su ta linija“.
Pavyzdžiai
Be to, kai kurie Elementų teoremai padės parodyti geometrinių erdvių, kuriose įvykdyti penki Euklido postulatai, savybes; Be to, jie iliustruos loginį-dedukcinį argumentą, kurį naudoja šis matematikas.
Pirmasis pavyzdys
1.4 pasiūlymas. (LAL)
Jei du trikampiai turi dvi puses ir jų kampas yra lygus, tada kitos pusės ir kiti kampai yra lygūs.
Demonstravimas
Leiskite ABC ir A'B'C 'būti dviem trikampiais, kurių AB = A'B', AC = A'C 'ir kampai BAC ir B'A'C' lygūs. Perkelkite į trikampį A'B'C 'taip, kad A'B' sutaptų su AB ir kad B'A'C kampas sutampa su kampu BAC.
Tada linija A'C sutampa su linija AC, taigi C 'sutampa su C. Tada pagal postulatą 1 linija BC turi sutapti su linija B'C'. Todėl abu trikampiai sutampa, todėl jų kampai ir pusės yra lygūs.
Antrasis pavyzdys
1.5 pasiūlymas. ( Pons Asinorum )
Jei trikampis turi dvi lygias puses, tada kampai priešais šias puses yra lygūs.
Demonstravimas
Tarkime, kad trikampis ABC turi lygias AB ir AC puses.
Tada trikampiai ABD ir ACD turi dvi lygias puses ir jų kampai yra lygūs. Taigi, 1.4 pasiūlymu, kampai ABD ir ACD yra lygūs.
Trečiasis pavyzdys
1.31 dalis
Galite sukurti liniją, lygiagrečią tam tikram taškui suteiktai linijai.
STATYBA
Atsižvelgiant į liniją L ir tašką P, nubrėžta tiesi linija M, kuri eina per P ir pjauna per L. Tuomet P linija nubrėžta tiesia linija N, kuri pjauna į L. Dabar linija N, nukirpta į M, yra atsekama P, suformuojant kampą, lygų L formai su M.
Patvirtinimas
N yra lygiagretus L.
Demonstravimas
Tarkime, kad L ir N nėra lygiagretūs ir susikerta taške A. Tegul B yra taškas, esantis L už A ribos. Apsvarstykite liniją O, kuri eina per B ir P. Tada O pjauna M formavimo kampus, kurie prideda mažiau nei du tiesūs.
Tada 1, 5 eilutės O turi nukirpti į liniją L kitoje M pusėje, taigi L ir O susikerta dviejuose taškuose, kurie prieštarauja postulatai 1. Todėl L ir N turi būti lygiagretūs.
