Bolzano teorema: paaiškinimas, programos ir išspręstos užduotys
Bolzano teorema teigia, kad jei funkcija yra nepertraukiama visuose uždarojo intervalo taškuose [a, b] ir yra įsitikinusi, kad „a“ ir „b“ (pagal funkciją) vaizdas turi priešingų ženklų, tada jis bus bent vienas taškas «c» atvirame intervale (a, b), kad funkcija, įvertinta „c“, būtų lygi 0.
Šis teorema buvo paskelbta filosofo, teologo ir matematiko Bernardo Bolzano 1850 metais. Šis mokslininkas, gimęs dabartinėje Čekijos Respublikoje, buvo vienas pirmųjų matematikų istorijoje, kad oficialiai demonstruotų nuolatinių funkcijų savybes.
Paaiškinimas
Bolzano teorema taip pat žinoma kaip tarpinių verčių teorija, kuri padeda nustatyti konkrečių tikrųjų kintamųjų realių funkcijų konkrečias vertes, ypač nulius.
Konkrečioje funkcijoje f (x) tęsiasi, tai yra, kad f (a) ir f (b) yra sujungtos kreive, kur f (a) yra žemiau x ašies (yra neigiama), ir f (b) yra virš x ašies (ji yra teigiama) arba atvirkščiai, grafiškai x ašyje bus nupjautas taškas, kuris atspindi tarpinę vertę «c», kuri bus tarp «a» ir «b», ir f (c) reikšmė bus lygus 0
Grafiškai analizuodami Bolzano teoremą, galime žinoti, kad kiekvienai f intervalui, apibrėžtam intervale [a, b], kur f (a) * f (b) yra mažesnis nei 0, bus bent viena šaknis «c »Iš šios funkcijos intervale (a, b).
Ši teorija nenustato ta atvirojo intervalo esamų taškų skaičiaus, tik nurodo, kad yra bent 1 taškas.
Demonstravimas
Norėdami įrodyti Bolzano teoremą, daroma prielaida, kad prarandant bendrumą f (a) 0; tokiu būdu gali būti daug reikšmių tarp «a» ir «b», kurioms f (x) = 0, bet turi būti įrodyta tik viena.
Pradėkite vertinant f viduryje (a + b) / 2. Jei f ((a + b) / 2) = 0, bandymas baigiasi čia; kitaip f ((a + b) / 2) yra teigiamas arba neigiamas.
Vienas iš [a, b] intervalo pusių yra pasirinktas taip, kad galuose įvertintos funkcijos požymiai būtų skirtingi. Šis naujas intervalas bus [a1, b1].
Dabar, jei f įvertintas [a1, b1] vidurio taške, nėra nulis, tada atliekama tokia pati operacija kaip ir anksčiau; tai yra, pusė šios intervalo, atitinkančio ženklų būklę, yra pasirinkta. Tegul šis naujas intervalas bus [a2, b2].
Jei šis procesas tęsiamas, bus imtasi dviejų paveldėjimų {an} ir {bn}, kad:
{an} didėja ir {bn} mažėja:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Jei apskaičiuojate kiekvieno intervalo [ai, bi] ilgį, turėsite:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
...
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Todėl riba, kai n linksta į begalę (bn-an), yra lygi 0.
Naudojant šį {a} didėja ir ribojamas ir {bn} mažėja ir ribojama, yra reikšmė „c“, kad:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
An yra „c“, o {bn} riba taip pat yra „c“. Todėl, atsižvelgiant į bet kurį δ> 0, visada yra „n“, kad intervalas [an, bn] būtų intervale (c-δ, c + δ).
Dabar reikia parodyti, kad f (c) = 0.
Jei f (c)> 0, tada kadangi f yra nepertraukiamas, egzistuoja ε> 0, kad f yra teigiamas per visą intervalą (c-e, c + ε). Tačiau, kaip nurodyta pirmiau, egzistuoja reikšmė "n", kad f pasikeičia į [an, bn] ir, be to, [an, bn] yra (c-ε, c + ε), tai yra prieštaravimas.
Jei f (c) 0 taip, kad f yra neigiamas per visą intervalą (c-e, c + ε); tačiau egzistuoja reikšmė „n“, kad f keičiasi [an, bn]. Pasirodo, kad [an, bn] yra (c-ε, c + ε), kuris taip pat yra prieštaravimas.
Todėl f (c) = 0 ir tai mes norėjome parodyti.
Kas tai yra?
Iš savo grafinio aiškinimo Bolzano teorema naudojama norint rasti šaknis arba nulius nepertraukiamoje funkcijoje per bisection (apytikslis), kuris yra papildomas paieškos metodas, kuris visada skirsto intervalus į 2.
Tada paimkite intervalą [a, c] arba [c, b], kur pasikeičia ženklas, ir pakartokite procesą, kol intervalas yra mažesnis ir mažesnis, kad galėtumėte pasiekti norimą vertę; tai yra vertė, kurią funkcija daro 0.
Apibendrinant galima pasakyti, kad, norint taikyti Bolzano teoremą ir taip surasti šaknis, apriboti funkcijos nulius arba suteikti lygtį, atlikite šiuos veiksmus:
- Patikrinkite, ar f yra nuolatinė funkcija intervale [a, b].
- Jei intervalas nenurodytas, reikia rasti vieną, kai funkcija yra nepertraukiama.
- Patikrinkite, ar intervalo kraštutinumai vertinami f.
- Jei nepasiekiami priešingi ženklai, intervalas turėtų būti suskirstytas į du tarpinius intervalus, naudojant vidurio tašką.
- Įvertinkite funkciją viduryje ir patikrinkite, ar įvykdyta Bolzano hipotezė, kur f (a) * f (b) <0.
- Priklausomai nuo nustatytos reikšmės ženklo (teigiamo arba neigiamo), procesas kartojamas su nauju subintervaliu, kol bus įvykdyta pirmiau minėta hipotezė.
Išspręstos pratybos
1 pratimas
Nustatykite, ar funkcija f (x) = x2 - 2 turi bent vieną tikrąjį sprendimą intervale [1, 2].
Sprendimas
Turime funkciją f (x) = x2 - 2. Kadangi tai yra polinomas, tai reiškia, kad jis yra nepertraukiamas bet kuriuo intervalu.
Jūsų paprašys nustatyti, ar intervale [1, 2] yra realus sprendimas, todėl dabar reikia pakeisti funkcijos kraštutinumus, kad sužinotumėte šių ženklų ženklą ir žinotumėte, ar jie atitinka skirtingos sąlygos:
f (x) = x2 - 2
f (1) = 12 - 2 = -1 (neigiamas)
f (2) = 22 - 2 = 2 (teigiamas)
Todėl f (1) ≠ ženklas f (2).
Tai užtikrina, kad yra bent vienas taškas "c", priklausantis intervalui [1, 2], kur f (c) = 0.
Tokiu atveju „c“ reikšmę galima lengvai apskaičiuoti taip:
x2 - 2 = 0
x = ± √2.
Taigi √2 ≈ 1.4 priklauso intervalui [1, 2] ir atitinka, kad f (f2) = 0.
2 pratimas
Parodykite, kad lygtis x5 + x + 1 = 0 turi bent vieną tikrą sprendimą.
Sprendimas
Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad f (x) = x5 + x + 1 yra polinominė funkcija, o tai reiškia, kad jis yra nuolatinis visuose realiuose skaičiumi.
Tokiu atveju intervalas nenurodomas, todėl vertės turėtų būti pasirinktos intuityviai, pageidautina arti 0, kad būtų galima įvertinti funkciją ir rasti žymenį:
Jei naudojate intervalą [0, 1], turite:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Kadangi ženklo nėra, procesas kartojamas su kitu intervalu.
Jei naudojate intervalą [-1, 0], turite:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
Šiuo intervalu pasikeičia ženklas: f (-1) ≠ ženklas f (0), o tai reiškia, kad funkcija f (x) = x5 + x + 1 turi bent vieną tikrą šaknį «c» į intervalas [-1, 0], kad f (c) = 0. Kitaip tariant, tiesa, kad x5 + x + 1 = 0 turi tikrą sprendimą intervale [-1, 0].
