Linijinė interpoliacija: metodas, išspręstos pratybos
Linijinė interpoliacija yra metodas, kilęs iš bendros Niutono interpoliacijos ir leidžia apytiksliai nustatyti nežinomą reikšmę, kuri yra tarp dviejų nurodytų skaičių; tai yra tarpinė vertė. Jis taip pat taikomas apytikslėms funkcijoms, kur yra žinomos f (a) ir f (b) reikšmės ir norime žinoti tarpinį (f) (x) .
Yra įvairių tipų interpoliacija, pvz., Linijinė, kvadratinė, kubinė ir aukštesnė kategorija, paprasčiausia yra linijinis aproksimavimas. Kaina, kuri turi būti mokama linijine interpoliacija, yra ta, kad rezultatas bus ne toks tikslus, kaip ir apytiksliai pagal aukštesnio laipsnio funkcijas.
Apibrėžimas
Linijinė interpoliacija yra procesas, leidžiantis jums nustatyti vertę tarp dviejų aiškiai apibrėžtų verčių, kurios gali būti lentelės arba tiesinės diagramos.
Pavyzdžiui, jei žinote, kad 3 litrai pieno yra verta $ 4 ir kad 5 litrai yra 7 $, bet norite sužinoti, kokia yra 4 litrų pieno vertė, interpoliuokite, kad nustatytumėte šią tarpinę vertę.
Metodas
Norėdami įvertinti tarpinę vertę, funkcija f (x) yra artima linijai r (x), o tai reiškia, kad funkcija kinta tiesiškai „x“, jei ruožas yra „x = a“ ir „x = b »; tai reiškia, kad reikšmei "x" intervale (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ) "y" reikšmę nurodo linija tarp taškų ir yra išreikšta tokiu santykiu:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Kad interpoliacija būtų linijinė, būtina, kad interpoliacijos polinomas būtų laipsnio (n = 1) laipsnis, kad jis atitiktų x 0 ir x 1 reikšmes .
Linijinė interpoliacija grindžiama trikampių panašumu, taip, kad geometriniu požiūriu iš ankstesnės išraiškos galime gauti „y“ reikšmę, kuri reiškia „x“ nežinomą vertę.
Tokiu būdu jūs turite:
a = tan Ɵ = (priešinga pusė 1 ÷ gretima 1 pusė) = (priešinga pusė 2 ÷ greta 2 )
Išreikštas kitu būdu:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Išvalydami „ir“ išraiškas turite:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Taigi, gauname bendrąją linijinės interpoliacijos lygtį:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Apskritai, tiesinė interpoliacija suteikia nedidelę klaidą tikrajai tikrosios funkcijos vertei.
Ši klaida atsiranda, kai bandote apytiksliai apskaičiuoti kreivės vertę tiesia linija; šiais atvejais intervalo dydis turi būti sumažintas, kad metodas taptų tikslesnis.
Siekiant geresnių rezultatų, atsižvelgiant į požiūrį, interpoliacijai patartina naudoti 2, 3 ar net aukštesnės klasės funkcijas. Tokiais atvejais „Taylor“ teorema yra labai naudinga priemonė.
Išspręstos pratybos
1 pratimas
Bakterijų skaičius tūrio vienetui, esantis inkubacijoje po x valandų, pateiktas šioje lentelėje. Jūs norite žinoti, kas yra 3, 5 valandų bakterijų tūris.
Sprendimas
Etaloninė lentelė nenustato vertės, rodančios bakterijų kiekį 3, 5 valandos, tačiau jos turi didesnę ir mažesnę vertę, atitinkančią atitinkamai 3 ir 4 valandų laiką. Tokiu būdu:
x 0 = 3 ir 0 = 91
x = 3, 5 y =?
x 1 = 4 ir 1 = 135
Dabar matematinė lygtis taikoma norint rasti interpoluotą vertę, kuri yra tokia:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Tada atitinkamos vertės pakeičiamos:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0, 5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0, 5
y = 113
Taigi gaunama, kad 3, 5 valandų bakterijų kiekis yra 113, o tai yra tarpinis tarp bakterijų, esančių 3 ir 4 valandų, tūris.
2 pratimas
Luisas turi ledų gamyklą ir nori atlikti tyrimą, kad nustatytų rugpjūčio mėn. Gautas pajamas. Bendrovės vadovas pateikia grafiką, išreiškiantį tokius santykius, tačiau Luis nori sužinoti:
Kokios yra rugpjūčio pajamos, jei buvo padaryta 55 000 dolerių sąskaita?
Sprendimas
Pateikiamas grafikas su pajamomis ir išlaidomis. Luis nori žinoti, kas yra rugpjūčio pajamos, jei gamykloje buvo 55 000 dolerių. Ši reikšmė tiesiogiai neatspindi grafiko, tačiau yra didesnės ir mažesnės vertės.
Pirmiausia pateikiama lentelė, kurioje galima lengvai susieti vertybes:
Dabar interpoliacijos formulė naudojama y reikšmės nustatymui
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Tada atitinkamos vertės pakeičiamos:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0, 588)
y = 56, 000 + 12, 936
y = $ 68, 936.
Jei rugpjūčio mėnesį buvo padaryta 55 000 JAV dolerių, pajamos buvo 68, 936 JAV doleriai.
