Laplaso transformacija: apibrėžimas, istorija, kas tai yra, savybės

Laplaso transformacija pastaraisiais metais buvo labai svarbi inžinerijos, matematikos, fizikos, kitų mokslo sričių studijose, nes be didelės susidomėjimo teoriniu požiūriu, tai yra paprastas būdas išspręsti problemas, kylančias iš mokslai ir inžinerija.

Iš pradžių Laplaso transformaciją pristatė tikimybės teorijos tyrimas Pierre-Simon Laplace ir iš pradžių buvo laikomas tik teorinio intereso matematiniu objektu.

Dabartinės programos atsiranda tada, kai įvairūs matematikai stengiasi pateikti oficialų pagrindą „eksploatacijos taisyklėms“, kurias „Heaviside“ naudojo tyrinėjant elektromagnetinės teorijos lygtis.

Apibrėžimas

Tegul f yra funkcija, nustatyta t ≥ 0. Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

Sakoma, kad Laplaso transformacija egzistuoja, jei ankstesni integralieji konverguoja, kitaip sakoma, kad Laplaso transformacija neegzistuoja.

Apskritai, norint nurodyti funkciją, kurią norite transformuoti, naudojamos mažos raidės ir didžiosios raidės atitinka jos transformaciją. Tokiu būdu turėsime:

Pavyzdžiai

Apsvarstykite pastovią funkciją f (t) = 1. Mes turime, kad jo transformacija yra:

Kiekvieną kartą, kai integruojasi, tai visada yra, kad s> 0. Priešingu atveju, s <0, integruojasi.

Leiskite g (t) = t. Jūsų Laplaso transformaciją suteikia

Integruodami dalimis ir žinodami, kad „t-st“ linksta į 0, kai t linkęs į begalybę ir s> 0, kartu su ankstesniu pavyzdžiu turime:

Transformacija gali arba negali egzistuoti, pavyzdžiui, funkcijai f (t) = 1 / t integruotasis, kuris apibrėžia jo Laplaso transformaciją, nesudaro ir todėl jo transformacija neegzistuoja.

Pakankamos sąlygos, užtikrinančios, kad egzistuoja funkcijos f Laplaso transformacija, yra tai, kad f yra t ≥ 0 dalių ir yra eksponentinė.

Sakoma, kad funkcija yra tęstinė dalimis t ≥ 0, kai bet kuriam intervalui [a, b] su a> 0 yra baigtinis taškų skaičius _k, kur f turi nepertraukiamumą ir yra nepertraukiamas kiekviename subintervalyje [t _k-1, t _k ].

Kita vertus, sakoma, kad funkcija yra eksponentinės eilės c, jei yra realios konstantos M> 0, c ir T> 0, kad:

Kaip pavyzdžiai turime, kad f (t) = t2 yra eksponentinės eilės, nes | t2 | <e3t visiems t> 0.

Oficialiai mes turime tokį teoremą

Teorija (pakankamos egzistavimo sąlygos)

Jei f yra nepertraukiama funkcija kiekvienai daliai t> 0 ir eksponentinės eilės c, tada yra Laplaso transformacija s> c.

Svarbu pabrėžti, kad tai yra pakankamumo sąlyga, tai yra, gali būti, kad egzistuoja funkcija, kuri neatitinka šių sąlygų, ir netgi jo Laplaso transformacija egzistuoja.

To pavyzdys yra funkcija f (t) = t-1/2, kuri t nepertraukiama t ≥ 0 dalyse, tačiau jos Laplaso transformacija egzistuoja.

Kai kurių pagrindinių funkcijų Laplaso transformacija

Toliau pateiktoje lentelėje pateikiamos dažniausiai naudojamų funkcijų Laplaso transformacijos.

Istorija

Laplaso transformacija turi savo vardą Pierre-Simon Laplace, matematikas ir prancūzų teorinis astronomas, gimęs 1749 m. Ir mirė 1827 metais. Jo šlovė buvo tokia, kad jis buvo žinomas kaip Prancūzijos Niutonas.

1744 m. Leonardas Euleris savo formą skyrė integralams

kaip paprastų diferencialinių lygčių sprendimai, tačiau greitai nutraukė šį tyrimą. Vėliau Joseph Louis Lagrange, kuris labai žavėjosi Euleriu, taip pat ištyrė tokio tipo integralus ir susiejo juos su tikimybės teorija.

1782, Laplasas

1782 m. Laplasas pradėjo studijuoti šiuos integralus kaip diferencialinių lygčių sprendimus ir, anot istorikų, 1785 m. Nusprendė performuluoti problemą, kuri vėliau pagimdė Laplaso transformaciją, kaip jie šiandien suprantami.

Įvedus į tikimybių teorijos sritį, tai buvo mažai domisi laiko mokslininkams ir buvo matoma tik kaip teorinis interesas.

Oliver Heaviside

Tai buvo XIX a. Viduryje, kai anglų inžinierius Oliver Heaviside nustatė, kad diferencijuoti operatoriai gali būti traktuojami kaip algebriniai kintamieji, tokiu būdu suteikiant jų šiuolaikinei taikymui Laplaso transformacijas.

Oliver Heaviside buvo anglų fizikas, elektros inžinierius ir matematikas, gimęs 1850 m. Londone ir mirė 1925 m. Bandydamas išspręsti diferencialinių lygčių problemas, taikomas vibracijos teorijai ir naudojant Laplaso studijas, jis pradėjo formuoti modernios Laplaso transformacijos programos.

„Heaviside“ rezultatai sparčiai išplito visoje mokslo mokslo bendruomenėje, tačiau, kadangi jo ne griežtas darbas buvo greitai kritikuojamas tradicinių matematikų.

Tačiau „Heaviside“ darbo naudingumas sprendžiant fizikos lygtis tapo jo populiarių fizikų ir inžinierių metodais.

Nepaisant šių nesėkmių ir praėjus keliems dešimtmečiams nepavykusiems bandymams, XX a. Pradžioje „Heaviside“ pateiktos veiklos taisyklės buvo griežtai pagrįstos.

Šie bandymai atsipirko dėl įvairių matematikų, tokių kaip Bromwich, Carson, van der Pol, pastangų.

Savybės

Tarp Laplaso transformacijos savybių, išsiskiria:

Linijiškumas

Tegul c1 ir c2 yra konstantos ir f (t) ir g (t) funkcijos, kurių Laplaso transformacijos yra atitinkamai F (s) ir G (s), tada turime:

Dėl šios savybės sakoma, kad Laplaso transformacija yra tiesinis operatorius.

Pavyzdys

Pirmasis vertimo teorema

Jei taip atsitinka:

Ir „a“ yra bet koks tikrasis skaičius, tada:

Pavyzdys

Kaip „Laplace“ transformaciją cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) tada:

Antrasis vertimo teorema

Taip

Tada

Pavyzdys

Jei f (t) = t ^ 3, tada F (s) = 6 / s ^ 4. Ir todėl, transformacija

yra G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Masto keitimas

Taip

Ir „a“ yra ne nulinis tikras, turime

Pavyzdys

Kadangi f (t) = sin (t) transformacija yra F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), ji turi būti

Laplaso išvestinių darinių formavimas

Jei f, f ', f' ', ..., f (n) t t = 0 yra nepertraukiami ir yra eksponentinės eilės ir f (n) (t) t ≥ 0 dalių tęstinė, tada

Laplaso integralų integracija

Taip

Tada

Padauginimas iš tn

Jei turime

Tada

Skyrius pagal t

Jei turime

Tada

Periodinės funkcijos

Tegul f yra periodinė funkcija su periodu T> 0, tai yra, f (t + T) = f (t)

F (-ų) elgesys, kai s linksta į begalybę

Jei f yra nepertraukiamas dalyse ir eksponentine tvarka ir

Tada

Inversinės transformacijos

Kai mes naudojame Laplaso transformaciją į funkciją f (t), gauname F (s), kuris reiškia tą transformaciją. Taip pat galime pasakyti, kad f (t) yra F (s) atvirkštinė Laplaso transformacija ir yra parašyta kaip

Mes žinome, kad Laplace transformacijos f (t) = 1 ir g (t) = t yra atitinkamai F (s) = 1 / s ir G (s) = 1 / s2, todėl turime

Kai kurios įprastos atvirkštinės Laplaso transformacijos yra tokios

Be to, atvirkštinė Laplaso transformacija yra linijinė, tai yra, tai įvykdyta

Pratimai

Rasti

Norint išspręsti šią užduotį, turime suderinti funkciją F (s) su viena iš ankstesnių lentelių. Tokiu atveju, jei imsimės + 1 = 5 ir naudojant atvirkštinės transformacijos tiesiškumo savybę, mes dauginame ir padalijame iš 4! Gauti

Antrajam atvirkštiniam transformavimui taikome dalines frakcijas, kad perrašytume funkciją F (s), o tada - tiesiškumo savybę, gaunant

Kaip matome iš šių pavyzdžių, yra įprasta, kad vertinama F funkcija nesutampa su jokia lentelėje pateikta funkcija. Tokiais atvejais, kaip pastebėta, pakanka perrašyti funkciją, kol pasiekiama tinkama forma.

Laplaso transformacijos taikymas

Diferencialinės lygtys

Pagrindinė Laplaso transformacijų paskirtis yra išspręsti diferencialines lygtis.

Naudojant išvestinės priemonės transformacijos savybę aišku, kad

Ir iš n-1 darinių, įvertintų t = 0.

Ši savybė daro transformaciją labai naudinga sprendžiant pradinių reikšmių problemas, kai dalyvauja diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

Toliau pateikiami pavyzdžiai rodo, kaip naudoti Laplaso transformaciją diferencialinių lygčių sprendimui.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į šią pradinę vertę

Norėdami rasti sprendimą, naudokite „Laplace“ transformaciją.

Kiekvienam diferencialinės lygties nariui taikome Laplaso transformaciją

Turime išvestinės priemonės transformacijos turtą

Plėtodami visą išraišką ir kliringo procesą Ir mes likome

Naudojant dalines frakcijas, perrašant gaunamą lygtį dešinėje pusėje

Galiausiai, mūsų tikslas yra rasti funkciją y (t), kuri atitinka diferencialinę lygtį. Naudojant atvirkštinę Laplaso transformaciją, gaunamas rezultatas

2 pavyzdys

Išspręskite

Kaip ir ankstesniais atvejais, transformaciją taikome abiejose lygties pusėse ir atskirą terminą.

Taip mes turime

Pakeičiant nustatytas pradines vertes ir išvalius Y (-us)

Naudojant paprastas frakcijas galime perrašyti lygtį taip

Ir taikydami atvirkštinę Laplaso transformaciją, tai mums suteikia

Šiuose pavyzdžiuose galima padaryti klaidingą išvadą, kad šis metodas nėra daug geresnis nei tradiciniai diferencialinių lygčių sprendimo būdai.

Laplaso transformacijos privalumai yra tai, kad nebūtina naudoti parametrų variacijos ar nerimauti dėl įvairių neapibrėžto koeficiento metodo atvejų.

Be pradinio vertės problemų sprendimo šiuo metodu, nuo pat pradžių naudojame pradines sąlygas, todėl nebūtina atlikti kitų skaičiavimų, kad rastume konkretų sprendimą.

Diferencialinių lygčių sistemos

Laplaso transformacija taip pat gali būti naudojama norint rasti sprendimus vienu metu įprastoms diferencialinėms lygtims, kaip parodyta sekančiame pavyzdyje.

Pavyzdys

Išspręskite

Pradinėmis sąlygomis x (0) = 8 ey (0) = 3.

Jei turime

Tada

Rezultatų sprendimas mums

Ir kai taikome „Laplace“ atvirkštinį transformaciją, mes turime

Mechanika ir elektros grandinės

Laplaso transformacija yra labai svarbi fizikoje, daugiausia naudojant mechaniką ir elektros grandines.

Paprastą elektros grandinę sudaro šie elementai

Jungiklis, akumuliatorius arba šaltinis, induktorius, rezistorius ir kondensatorius. Kai jungiklis uždarytas, gaunama elektros srovė, žymima i (t). Kondensatoriaus įkrova žymima q (t).

Antruoju Kirchhoffo įstatymu šaltinio E sukurta įtampa į uždarą grandinę turi būti lygi kiekvienos įtampos kritimo sumai.

Elektros srovė i (t) yra susijusi su įkrovimu q (t) kondensatoriuje i = dq / dt. Kita vertus, kiekviename iš elementų įtampos kritimas yra toks:

Įtampos sumažėjimas varže yra iR = R (dq / dt)

Įtampos kritimas induktoriuje yra L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Įtampos kritimas kondensatoriuje yra q / C

Naudojant šiuos duomenis ir taikant antrąjį „Kirchhoff“ įstatymą uždaram paprastam grandynui, gaunama antrojo laipsnio diferencialinė lygtis, kuri apibūdina sistemą ir leidžia nustatyti q (t) vertę.

Pavyzdys

Indikatorius, kondensatorius ir rezistorius prijungti prie baterijos E, kaip parodyta paveiksle. Induktorius yra iš dviejų viščiukų, 0, 02 faradų kondensatoriaus ir 16 ha atsparumo. Tuo metu, kai t = 0, grandinė yra uždaryta. Raskite apkrovą ir srovę bet kuriuo metu t> 0, jei E = 300 voltų.