Lygiagretūs: charakteristikos, tipai, plotas, tūris

Lygiagretusis paketas yra geometrinis kūnas, kurį sudaro šeši veidai, kurių pagrindinė charakteristika yra ta, kad visi jų veidai yra lygiagrečiosios, o jų priešingos pusės yra lygiagrečios viena kitai. Tai kasdieniame gyvenime paplitęs polichedronas, nes jį galima rasti batų dėžėse, plytų formoje, mikrobangų formoje ir kt.

Būdamas daugiabriauniu, lygiagrečiai sujungtas ribinis tūris, o visi jo veidai yra plokšti. Ji sudaro prizmių grupę, kuri yra tie polyhedra, kuriuose visos jų viršūnės yra dvi lygiagrečios plokštumos.

Paralelinės pakopos elementai

Veidai

Jie yra visi regionai, kuriuos sudaro lygiagretės, ribojančios lygiagretųjį vamzdį. Lygiagrečiai suformuota šeši veidai, kuriuose kiekvienas veidas turi keturis gretimus veidus ir vienas priešais. Be to, kiekvienas veidas yra lygiagrečiai su priešais.

Briaunos

Jie yra dviejų veidų bendroji pusė. Iš viso, lygiagrečiai, yra dvylika kraštų.

Vertex

Tai yra taškas, kuriame yra trys veidai, esantys greta dviejų ar dviejų. Lygiagrečiai suformuota aštuonių viršūnių.

Diagonal

Atsižvelgiant į dvi priešingas šoninės plokštumos puses, galime nupiešti linijos segmentą, kuris eina iš vienos veido viršūnės į priešingą kito viršūnę.

Šis segmentas yra žinomas kaip lygiagretės skersmuo. Kiekvienoje lygiagretėje yra keturi įstrižainiai.

Downtown

Tai ta vieta, kurioje susikerta visi įstrižainiai.

Lygiagretės formos charakteristikos

Kaip minėjome, šis geometrinis kūnas turi dvylika kraštų, šešis veidus ir aštuonias viršūnes.

Lygiagretėje galite nustatyti tris rinkinius, susidedančius iš keturių kraštų, kurie yra lygiagrečiai vienas kitam. Be to, šių rinkinių kraštai taip pat atitinka tą patį ilgį.

Kita savybė, kuri yra lygiagrečiai suformuota, yra tai, kad jie yra išgaubti, tai yra, jei mes imame bet kokią taškų porą, priklausančią lygiagretės pakraščiui, šis taškų pora nustatomas segmentas taip pat bus lygiagrečioje vietoje.

Be to, lygiagretaus išgaubtojo polyhedros atitiktis atitinka Eulerio polihedros teoriją, kuri suteikia mums santykį tarp veidų skaičiaus, kraštų skaičiaus ir viršūnių skaičiaus. Šis ryšys pateikiamas kaip tokia lygtis:

C + V = A + 2

Ši charakteristika yra žinoma kaip „Euler“ charakteristika.

Kur C yra veidų skaičius, V viršūnių skaičius ir A briaunų skaičius.

Tipai

Mes galime klasifikuoti lygiagrečiuosius rėmelius pagal jų veidus šiais tipais:

Ortopedija

Jie yra lygiagretūs, kai jų veidus sudaro šeši stačiakampiai. Kiekvienas stačiakampis yra statmenas tiems, kuriuos jis dalijasi. Jie yra labiausiai paplitę mūsų kasdieniame gyvenime - tai įprastas batų dėžių ir plytų būdas.

Kubas arba reguliarus šešiakampis

Tai yra ypatingas ankstesnio atvejo atvejis, kai kiekvienas veidas yra kvadratas.

Kubas taip pat yra geometrinių kūnų, vadinamų platoninėmis kietomis dalimis, dalis. Platoninė kieta medžiaga yra išgaubtas daugiakampis, todėl tiek jo veidai, tiek vidiniai kampai yra vienodi.

Romboedro

Jis yra lygiagrečiai su deimantais ant veido. Šie deimantai yra vienodi, nes jie dalijasi kraštais.

Romboiedro

Jo šeši veidai yra romboidai. Prisiminkite, kad rombo yra daugiakampis, turintis keturias puses ir keturis kampus, kurie yra lygūs nuo dviejų iki dviejų. Romboidai yra lygiagretės, kurios nėra nei kvadratinės, nei stačiakampės, nei rombo formos.

Kita vertus, įstrižos lygiagretės yra tos, kuriose bent vienas aukštis nesutinka su jo kraštu. Šioje klasifikacijoje galime įtraukti romboedronus ir romboedronus.

Diagoninis skaičiavimas

Norint apskaičiuoti ortogedrono įstrižainę, galime naudoti Pitagoro teoriją R3.

Prisiminkite, kad ortogedronas turi savybę, kad kiekviena pusė yra statmena šonams, kurie dalijasi kraštu. Iš to mes galime daryti išvadą, kad kiekvienas kraštas yra statmenas tiems, kurie dalijasi viršūnėmis.

Apskaičiuojant ortogedrono įstrižainės ilgį, elgiamės taip:

1. Apskaičiuojame vieno iš veidų įstrižainę, kurią mes pamatysime. Tam mes naudojame Pitagoro teoriją. Pavadinkite šią įstrižainę d _b .

2. Tada su d _b galime sukurti naują dešinįjį trikampį, kad šio trikampio hipotensija būtų D įstrižainė.

3. Mes vėl naudojame Pitagoro teoremą ir mes turime, kad minėto įstrižainės ilgis yra:

Kitas būdas skaičiuoti įstrižaines grafiniu būdu yra laisvųjų vektorių suma.

Prisiminkite, kad du laisvi vektoriai A ir B pridedami, pridedant vektoriaus B uodegą su vektoriaus A galu.

Vektorius (A + B) yra tas, kuris prasideda nuo A uodegos ir baigiasi B galu.

Apsvarstykite lygiagretį, į kurį norime apskaičiuoti įstrižainę.

Nustatome kraštus patogiai orientuotais vektoriais.

Tada pridedame šiuos vektorius, o gautas vektorius bus lygiagrečiosios srities įstrižainė.

Plotas

Lygiagretės pakraščio plotą nurodo kiekvienos jų veidų srities suma.

Jei mes nustatome vieną iš pagrindinių pusių,

A _L + 2A _B = bendras plotas

Kur A _L yra lygus visų kraštų, esančių greta pagrindo, plotų, vadinamų šonine sritimi, suma ir A _B yra bazės plotas.

Priklausomai nuo lygiagrečiojo tipo, su kuriuo dirbame, galime perrašyti formulę.

Ortohedrono sritis

Jis pateikiamas pagal formulę

A = 2 (ab + bc + ca).

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į šiuos ortofonus, kurių šonuose yra a = 6 cm, b = 8 cm ir c = 10 cm, apskaičiuokite lygiagretės ir jos įstrižainės ilgį.

Naudodamiesi ortogedro srities formulė, kurią turime

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi jis yra ortoedronas, bet kurio iš keturių įstrižainių ilgis yra tas pats.

Naudojant Pitagoro teoremą, mums reikia

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Kubo plotas

Kadangi kiekvienas kraštas yra vienodo ilgio, turime a = bya = c. Pakeičiant ankstesnę formulę turime

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

2 pavyzdys

Žaidimų konsolės dėžutė yra kubo formos. Jei norime šį dėžutę suvynioti su dovanų popieriumi, kiek popieriaus mes išleisime, žinodami, kad kubo kraštų ilgis yra 45 cm?

Naudojame kubo srities formulę

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Rombohedrono sritis

Kadangi visi jų veidai yra lygūs, pakanka apskaičiuoti vieno iš jų plotą ir padauginti iš šešių.

Mes galime apskaičiuoti deimantų plotą naudodami jos įstrižaines pagal šią formulę

A _R = (Dd) / 2

Naudojant šią formulę daroma išvada, kad bendras rombohedrono plotas yra

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3 pavyzdys

Šių rombohedronų veidus sudaro rombas, kurio įstrižainės yra D = 7 cm ir d = 4 cm. Jūsų sritis bus

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Rombo sritis

Norint apskaičiuoti rombo plotą, turime apskaičiuoti romboidų, kurie jį sudaro, plotą. Kadangi lygiagretės pakopos atitinka tai, kad priešingos pusės turi tą patį plotą, mes galime susieti šonus su trimis poromis.

Tokiu būdu mes turime, kad jūsų sritis bus

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kai b _i yra bazės, susijusios su šonais ir h _i, jų santykinis aukštis atitinka minėtas bazes.

4 pavyzdys

Apsvarstykite šiuos lygiagretius šonus,

kur A pusė ir A 'pusė (jos priešinga pusė) yra b = 10 ir aukštyje h = 6. Pažymėtas plotas turės reikšmę

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B ir B 'turi b = 4 ir h = 6

A2 = 2 (4) (6) = 48

YC ir C 'turi b = 10 ir h = 5

A3 = 2 (10) (5) = 100

Galiausiai rombohedrono sritis yra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Lygiagretės formos tūris

Formulė, kuri suteikia mums lygiagrečiojo skersmens tūrį, yra vieno iš jos veidų plotas, atitinkantis tą veidą atitinkantį aukštį.

V = _C h _C

Priklausomai nuo lygiagretės formos tipo, formulė gali būti supaprastinta.

Taigi mes, pavyzdžiui, turime, kad ortofono apimtis būtų suteikta

V = abc.

Kur a, b ir c žymi ortogedro kraštų ilgį.

Ir konkrečiu atveju kubas yra

V = a3

1 pavyzdys

Yra trys skirtingi slapukų dėžutės modeliai ir norite žinoti, kuriame iš šių modelių galite saugoti daugiau slapukų, ty kurios iš jų yra daugiau.

Pirmasis yra kubas, kurio krašto ilgis yra a = 10 cm

Jo tūris bus V = 1000 cm3

Antrasis yra briaunos b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Todėl jo tūris yra V = 765 cm3

Trečiasis yra e = 9 cm, f = 9 cm ir g = 13 cm

Ir jo tūris yra V = 1053 cm3

Todėl didžiausias tūris yra trečias.

Kitas būdas pasiekti lygiagrečiojo srauto tūrį yra kreiptis į vektoriaus algebrą. Visų pirma, trigubas skaliarinis produktas.

Vienas iš geometrinių interpretacijų, turinčių trigubą skalarinį produktą, yra lygiagrečiojo skersmens tūris, kurio kraštai yra trys vektoriai, turintys tą patį viršūnę kaip pradinis taškas.

Tokiu būdu, jei mes turime lygiagretųjį skydą ir norime žinoti, koks yra jo tūris, pakanka jį atstovauti R3 koordinačių sistemoje, suderinant vieną iš jos viršūnių su kilme.

Tada mes vaizduojame kraštus, kurie sutampa su vektoriais, kaip parodyta paveiksle.

Tokiu būdu mes turime, kad minėto lygiagrečiojo skersmens tūris būtų nustatytas pagal

V = | AxB ∙ C |

Arba taip pat tūris yra 3 × 3 matricos determinantas, kurį sudaro kraštinių vektorių komponentai.

2 pavyzdys

Atstovaudami tokius R3 lygiagrečiai, matome, kad vektoriai, kurie ją nustato, yra tokie

u = (-1, -3, 0), v = (5, 0, 0) ir w = (-0, 25, -4, 4)

Naudojantis trimis skaliariniais produktais

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3, 0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0, 0, - 15) ∙ (-0, 25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iš to darome išvadą, kad V = 60

Dabar pagalvokite, kas yra R3, kurio kraštai yra nustatyti vektoriuose

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ir C = (3, 4, 4)

Tai lemia determinantai

Taigi mes turime, kad minėto lygiagrečiojo srauto tūris yra 112.

Abu yra lygūs apimties skaičiavimo būdai.

Puikiai lygiagrečiai

Tai žinoma kaip Eulerio plyta (arba Eulerio blokas) ortofonui, kuris tenkina savybę, kad ir jos kraštų ilgis, ir kiekvieno jo veido įstrižainių ilgis yra sveiki skaičiai.

Nors Euleris nebuvo pirmasis mokslininkas, mokantis ortofonus, kurie atitinka tą turtą, jis surado įdomių rezultatų apie juos.

Mažesnę Eulerio plytą atrado Paul Halcke, o jo kraštų ilgis yra a = 44, b = 117 ir c = 240.

Atviros problemos skaičiaus teorijoje yra tokios

Ar yra tobulų ortoforų?

Šiuo metu į šį klausimą atsakyti nepavyko, nes nebuvo įmanoma įrodyti, kad šių įstaigų nėra, bet nė vienas iš jų nebuvo rastas.

Iki šiol buvo parodyta, kad egzistuoja tobuli lygiagretūs stūmokliai. Pirmasis, kurį reikia atrasti, jo kraštų ilgis yra 103, 106 ir 271.

Bibliografija

1. Guy, R. (1981). Neišspręstos skaičiaus teorijos problemos. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija Pažanga
3. Leithold, L. (1992). APSKAIČIAVIMAS su analitine geometrija. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Techninis brėžinys: 3-oji veiklos knyga. Tebaras
5. Resnick, R., Halliday, D. ir Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.