Pusiau trikampis: savybės, savybės, formulės ir sritis
Lygiagretaus trikampis yra daugiakampis, turintis tris puses, kur visi yra lygūs; tai yra, jie turi tą pačią priemonę. Dėl šios savybės jam buvo suteiktas lygiakraštis (lygios pusės).
Trikampiai yra daugiakampiai, laikomi paprasčiausia geometrijoje, nes jie yra suformuoti trimis šonais, trimis kampais ir trimis viršūnėmis. Lygiašalio trikampio atveju, nes jis turi lygias puses, tai reiškia, kad jo trys kampai taip pat bus lygūs.
Lygiašalių trikampių charakteristikos
Lygios pusės
Lygiašaliai trikampiai yra plokšti ir uždaryti skaičiai, sudaryti iš trijų tiesių linijų segmentų. Trikampiai klasifikuojami pagal jų charakteristikas, atsižvelgiant į jų kraštus ir kampus; lygiašalis buvo klasifikuojamas naudojant jo pusių matą kaip parametrą, nes jie yra lygiai tokie patys, tai yra, jie yra lygūs.
Lygiagretaus trikampis yra ypatingas lygiašalio trikampio atvejis, nes dvi jo pusės yra lygios. Štai kodėl visi lygiakraščiai trikampiai taip pat yra lygiašaliai, bet ne visi lygiašaliai trikampiai bus lygiašaliai.
Tokiu būdu lygiakraščiai trikampiai turi tas pačias lygiagretės trikampio savybes.
Lygiašaliai trikampiai taip pat gali būti klasifikuojami pagal jų vidinių kampų amplitudę kaip lygiašalį angliškumo trikampį, turintį tris puses ir tris vidinius kampus su ta pačia priemone. Kampai bus ūmus, ty jie bus mažesni nei 90 °.
Komponentai
Trikampiai apskritai turi keletą eilučių ir taškų, kurie ją sudaro. Jie naudojami apskaičiuoti plotą, šonus, kampus, medianą, bisektorių, statmeną ir aukštį.
- Mediana : tai linija, kuri išeina iš vienos pusės vidurio ir pasiekia priešingą viršūnę. Trys mediana susitinka taške, vadinamame centroidu arba centroidu.
- Bisektorius : tai spindulys, padalantis viršūnių kampą į du vienodo dydžio kampus, todėl jis yra žinomas kaip simetrijos ašis. Pusiau trikampis turi tris simetrijos ašis.
Lygiašaliame trikampyje bisektorius yra nubrėžtas iš kampo viršūnės į priešingą pusę, pjaustant jį į vidurio tašką. Šie aspektai sutampa su skatinimu.
- Perpendikulinis bisektorius yra segmentas, statmenas trikampio šonai, kilusiai šio centro viduryje. Trikampyje yra trys mediatrijos ir jie sutampa su tašku, vadinamu cirkoncentru.
- Aukštis : tai linija, kuri eina nuo viršūnės iki pusės, kuri yra priešinga, ir ši linija yra statmena šiai pusei. Visi trikampiai turi tris aukščius, kurie sutampa su tašku, vadinamu ortocentru.
Savybės
Pagrindinė lygiašalių trikampių savybė yra ta, kad jie visada bus lygiašaliai trikampiai, nes vienaragiai yra suformuoti iš dviejų lygių pusių ir lygiašalių trijų.
Tokiu būdu lygiakraščiai trikampiai paveldėjo visas lygiagretaus trikampio savybes:
Vidiniai kampai
Vidinių kampų suma visada yra lygi 180o, ir kadangi visi jo kampai yra lygūs, tada kiekvienas iš jų bus 60o.
Išoriniai kampai
Išorinių kampų suma visada bus lygi 360o, todėl kiekvienas išorinis kampas bus 120o. Taip yra todėl, kad vidiniai ir išoriniai kampai yra papildomi, ty jų pridėjimas visada bus lygus 180o.
Šonų suma
Dviejų pusių matavimų suma visada turi būti didesnė už trečiosios pusės matą, ty a + b> c, kur a, b ir c yra kiekvienos pusės matavimai.
Sudėtingos pusės
Lygiašaliai trikampiai turi trijų pusių tą pačią matą arba ilgį; tai yra, jie yra lygūs. Todėl ankstesniame punkte yra a = b = c.
Sudėtingi kampai
Lygiašaliai trikampiai taip pat žinomi kaip lygiakampiai trikampiai, nes jų trys vidiniai kampai yra vienodi. Taip yra todėl, kad visos jos pusės turi tą pačią priemonę.
Bisektorius, mediana ir mediatrix sutampa
Bisektorius padalina trikampio pusę į dvi dalis. Lygiašaliuose trikampiuose ši pusė bus padalyta į dvi lygiai lygias dalis, ty trikampis bus padalintas į du lygius teisingus trikampius.
Taigi, bisektorius, ištrauktas iš bet kurio lygiakraščio trikampio kampo, sutampa su viduriu ir bisektoriu, esančiu priešingame kampe.
Pavyzdys:
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta trikampis ABC su viduriniu D tašku, kuris padalija vieną iš jo pusių į du segmentus AD ir BD.
Nubraižydami liniją nuo taško D iki priešingos viršūnės, pagal apibrėžimą gausite medianinį CD, kuris yra lygus viršūnei C ir šoninei AB.
Kadangi CD segmentas padalina trikampį ABC į du trikampius, lygius CDB ir CDA, tai reiškia, kad mes turėsime kongruencijos atvejį: šoną, kampą, šoną ir todėl CD taip pat bus BCD bisektorius.
Kai sudaromas CD segmentas, viršūnės kampas yra padalintas į du lygius 30o kampus, o viršūnės A kampas toliau matuoja 60o, o linijos CD sudaro 90o kampą vidurio D atžvilgiu.
Segmento CD formuoja kampus, turinčius tą patį matavimą trikampiams ADC ir BDC, ty jie yra papildomi taip, kad kiekvieno iš jų matavimas bus toks:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 °
2 * Med. (ADC) = 180 °
Med. (ADC) = 180o ÷ 2
Med. (ADC) = 90o.
Ir taip, mes turime, kad CD segmentas taip pat yra AB pusės bisector.
Bisektorius ir aukštis sutampa
Kai nubrėžiate bisektorių nuo kampo viršūnės į priešingos pusės vidurio tašką, jis padalija lygiakraščio trikampį į du lygius trikampius.
Tokiu būdu susidaro 90 ° kampas (tiesus). Tai rodo, kad šis linijos segmentas yra visiškai statmenas šiai pusei, ir pagal apibrėžimą ši linija būtų aukštis.
Tokiu būdu bet kurio lygiakraščio trikampio bet kurio kampo bisektorius sutampa su santykiniu aukščiu priešingoje to kampo pusėje.
Orthocenter, barycenter, incenter ir circumcenter sutampa
Kadangi aukštis, mediana, bisektorius ir bisektorius tuo pačiu metu yra atstovaujami tame pačiame segmente, lygiakraščio trikampyje šių segmentų susitikimo taškai - ortocentras, barycenter, incenter ir circumcenter- bus tame pačiame taške:
Kaip apskaičiuoti perimetrą?
Daugiakampio perimetras apskaičiuojamas pagal šonų sumą. Kadangi tokiu atveju lygiakraštis trikampis turi visas šonines dalis su tuo pačiu matu, jo perimetras apskaičiuojamas pagal šią formulę:
P = 3 * pusė.
Kaip apskaičiuoti aukštį?
Kadangi aukštis yra statmena bazei, ji ją padalija į dvi lygias dalis, išilgai į priešingą viršūnę. Taigi susidaro du lygūs dešinieji trikampiai.
Aukštis (h) yra priešinga pusė (a), pusė šoninės AC prie gretimos pusės (b) ir BC pusė - hipotenažas (c).
Naudojant Pitagoro teoremą, galite nustatyti aukščio vertę:
a 2 + b 2 = c 2
Kur:
a2 = aukštis (h).
b2 = pusė b / 2.
c2 = pusė a.
Šios vertės pakeičiamos Pitagoro teoremoje ir išvalome aukštį, kurį turime:
h 2 + ( l / 2) 2 = l 2
h 2 + l 2/4 = l 2
h 2 = l 2 - l 2/4
h 2 = (4 * l 2 - 2) / 4
h 2 = 3 * l 2/4
√ h 2 = √ (3 * l 2/4)
Jei žinoma, kad kampas, kurį sudaro suderintos pusės, gali būti apskaičiuojamas aukštis (nurodomas kojomis) taikant trigonometrinius santykius.
Kojos vadinamos priešingomis arba gretimomis, priklausomai nuo kampo, priimto kaip atskaitos taškas.
Pavyzdžiui, ankstesniame paveiksle katetas h bus priešingas kampui C, bet šalia kampo B:
Taigi aukštį galima apskaičiuoti:
Kaip apskaičiuoti šonus?
Yra atvejų, kai trikampio šonų matavimai nėra žinomi, bet jų aukštis ir kampai, suformuoti viršūnėse.
Norint nustatyti plotą šiais atvejais, būtina taikyti trigonometrinius santykius.
Žinant vienos iš jų viršūnių kampą, identifikuojamos kojos ir naudojamas atitinkamas trigonometrinis santykis:
Taigi, AB kojelė bus priešinga kampui C, bet šalia A kampo. Priklausomai nuo šono ar kojos, atitinkančios aukštį, kita pusė yra išvalyta, kad būtų gauta šios vertės, žinant, kad lygiakraščio trikampyje trys pusėse visada bus ta pati priemonė.
Kaip apskaičiuoti plotą?
Trikampių plotas visada apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę, bazę padauginant iš aukščio ir dalijant iš dviejų:
Plotas = (b * h) ÷ 2
Žinant, kad aukštis pateikiamas pagal formulę:
Pratimai
Pirmasis pratimas
Lygiagretaus trikampio ABC šonai yra 20 cm. Apskaičiuokite to poligono aukštį ir plotą.
Sprendimas
Kad nustatytumėte to lygiakraščio trikampio plotą, reikia apskaičiuoti aukštį, žinant, kad, piešiant, jis padalina trikampį į du lygius dešinius trikampius.
Tokiu būdu galima surasti Pitagoro teoremą:
a 2 + b 2 = c 2
Kur:
a = 20/2 = 10 cm.
b = aukštis
c = 20 cm
Duomenys teoremoje pakeičiami:
102 + b 2 = 202
100 cm + b 2 = 400 cm
b 2 = (400 - 100) cm
b 2 = 300 cm
b = √300 cm
b = 17, 32 cm.
Tai reiškia, kad trikampio aukštis yra lygus 17, 32 cm. Dabar galima apskaičiuoti nurodyto trikampio plotą pakeičiant formulę:
Plotas = (b * h) ÷ 2
Plotas = (20 cm * 17, 32 cm) ÷ 2
Plotas = 346, 40 cm2 ÷ 2
Plotas = 173, 20 cm2.
Kitas paprastesnis būdas išspręsti šią užduotį - pakeisti duomenis tiesioginės vietovės formulėje, kurioje taip pat netiesiogiai randama aukščio vertė:
Antrasis pratimas
Žemėje, kurioje yra lygiakraštis trikampis, gėlės bus sodinamos. Jei to krašto perimetras yra 450 m, apskaičiuokite gėlės užimamų kvadratinių metrų skaičių.
Sprendimas
Žinant, kad trikampio perimetras atitinka jo trijų pusių sumą, o vietovė yra lygiakraščio trikampio formos, trys šios trikampio pusės turės tą patį matą arba ilgį:
P = pusė + pusė + pusė = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = 150 m.
Dabar reikia tik apskaičiuoti šio trikampio aukštį.
Aukštis padalina trikampį į du lygius dešininius trikampius, kur viena iš kojų yra aukštis ir kita pusė. Pagal Pitagoro teoremą galima nustatyti aukštį:
a 2 + b 2 = c 2
Kur:
a = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = aukštis
Duomenys teoremoje pakeičiami:
(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2
5, 625 m + b 2 = 22, 500 m
b 2 = 22 500 m - 5 625 m
b 2 = 16, 875 m
b =, 816, 875 m
b = 129, 90 m.
Taigi sritis, kurioje bus gėlės, bus:
Plotas = b * h ÷ 2
Plotas = (150 m * 129, 9 m) ÷ 2
Plotas = (19, 485 m2) ÷ 2
Plotas = 9, 742, 5 m2
Trečiasis pratimas
Lygiagretaus trikampis ABC yra padalintas iš linijos segmento, einančio nuo jo viršūnės C iki vidurinės D taško, esančio priešingoje pusėje (AB). Šis segmentas yra 62 metrų. Apskaičiuokite to lygiakraščio trikampio plotą ir perimetrą.
Sprendimas
Žinant, kad lygiakraštis trikampis yra padalintas iš linijos segmento, atitinkančio aukštį, sudarant du lygius dešinius trikampius, tai taip pat padalija viršūnės C kampą į du kampus su tuo pačiu matu, 30o kiekvienu.
Aukštis sudaro 90o kampą AB segmento atžvilgiu, o taško A kampas bus matuojamas 60o.
Tada, naudojant 30o kampą kaip atskaitos tašką, aukščio CD nustatomas kaip kojelė, esanti greta kampo, ir BC kaip hipotenzija.
Iš šių duomenų galima nustatyti vienos iš trikampio pusių vertę, naudojant trigonometrinius santykius:
Kaip ir lygiakraščio trikampyje, visos pusės turi tą patį matą ar ilgį, o tai reiškia, kad kiekviena lygiakraščio trikampio ABC pusė yra lygi 71, 6 metrų. Žinodami, kad galite nustatyti savo vietovę:
Plotas = b * h ÷ 2
Plotas = (71, 6 m * 62 m) ÷ 2
Plotas = 4, 338, 6 m2 ÷ 2
Plotas = 2, 219, 3 m2
Perimetrą sudaro trijų pusių suma:
P = pusė + pusė + pusė = 3 * l
P = 3 * l
P = 3 * 71, 6 m
P = 214, 8 m.
