Pažymėtini produktai: paaiškinimas ir pratimai
Puikūs produktai yra algebrinės operacijos, kuriose išreiškiami polinomų dauginimai, kurie nebūtinai turi būti sprendžiami tradiciškai, tačiau naudojant tam tikras taisykles galite rasti jų rezultatus.
Polinomai dauginami iš pačių, todėl jie gali turėti daug terminų ir kintamųjų. Kad procesas taptų trumpesnis, naudojamos žymių produktų taisyklės, leidžiančios dauginti daug kartų.
Žymūs produktai ir pavyzdžiai
Kiekvienas puikus produktas yra formulė, gaunama iš faktoringo, susidedančio iš įvairių terminų polinomų, tokių kaip binominiai ar trinominiai, vadinami veiksniais.
Veiksniai yra galios pagrindas ir turi eksponentą. Kai veiksniai daugėja, turi būti pridėti eksponentai.
Yra keletas puikių produkto formulių, kai kurios yra labiau naudojamos nei kitos, priklausomai nuo polinomų, ir jos yra šios:
Binominis kvadratas
Tai yra binomijos dauginimas pats, išreikštas galios forma, kur terminai pridedami arba atimami:
a. Binominė suma-kvadratas: lygus pirmojo termino kvadratui, pridėjus dvigubą terminų sumą, plius antrosios kadencijos kvadratas. Jis išreiškiamas taip:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip produktas yra sukurtas pagal pirmiau minėtą taisyklę. Rezultatas vadinamas tobulo kvadrato trinomu.
1 pavyzdys
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
2 pavyzdys
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Atimties į kvadratą binomija: taikoma ta pati binominės sumos taisyklė, tik tai, kad šiuo atveju antrasis terminas yra neigiamas. Jo formulė yra tokia:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
1 pavyzdys
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Konjuguotų binominių medžiagų produktas
Dvi binomos yra konjuguotos, kai kiekvienos antrosios sąlygos yra skirtingų ženklų, ty pirmosios sąlygos yra teigiamos, o antrojo neigiamo - arba antrojo. Išspręskite pakeldami kiekvieną monomijos aikštę ir atimant. Jo formulė yra tokia:
(a + b) * (a - b)
Toliau pateiktame paveiksle sukurtas dviejų konjuguotų binominių produktų produktas, kuriame pastebima, kad rezultatas yra kvadratų skirtumas.
1 pavyzdys
(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 - 9b2.
Dviejų binomijų, turinčių bendrą terminą, produktas
Tai vienas iš sudėtingiausių ir mažiausiai naudojamų puikių produktų, nes tai yra dviejų binomijų, turinčių bendrą terminą, dauginimas. Taisyklėje nurodoma:
- Bendrojo termino aikštė.
- Be to, pridėkite terminų, kurios nėra įprastos, ir jas dauginkite iš bendro termino.
- Plius sumų, kurios nėra bendros, skaičių.
Jis pateikiamas formulėje: (x + a) * (x + b) ir yra sukurtas taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Rezultatas yra kvadratinis trinomas, kuris nėra tobulas.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Yra galimybė, kad antrasis terminas (skirtingas terminas) yra neigiamas ir jo formulė yra tokia: (x + a) * (x - b).
2 pavyzdys
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Taip pat gali būti, kad abi skirtingos sąvokos yra neigiamos. Jos formulė bus: (x - a) * (x - b).
3 pavyzdys
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Kvadratinis polinomas
Tokiu atveju yra daugiau nei du terminai ir jų plėtojimas, kiekvienas iš jų yra kvadratas ir pridedamas kartu su dvigubu vieno termino dauginimu su kitu; jos formulė yra: (a + b + c) 2 ir operacijos rezultatas yra kvadratinis trinomas.
1 pavyzdys
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binominis kubui
Tai puikus produktas. Norėdami ją plėtoti, binominį skaičių padauginkite iš jo kvadrato taip:
a. Kad binominis kubas būtų sumos:
- Pirmojo kadro kubas, plius pirmos kadencijos kvadrato antrasis.
- Plius pirmos kadencijos trigubas, antrasis kvadratas.
- Plius antrosios kadencijos kubas.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
1 pavyzdys
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Kad binominis atimties kubas būtų:
- Pirmojo kadro kubas, atėmus pirmojo kadro kvadratą antruoju.
- Plius pirmos kadencijos trigubas, antrasis kvadratas.
- Mažiau antro kadro kubas.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
2 pavyzdys
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Trinominės kibiras
Jis išsivysto jį padauginant iš jo aikštės. Tai puikus produktas, kuris yra labai platus, nes yra trys kubo iškeltos sąvokos, pridėjus tris kartus kiekvienas terminas, padaugintas iš kiekvieno termino, pridėjus šešis kartus trijų terminų rezultatą. Geriau matyti:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
1 pavyzdys
Išspręstų puikių produktų pratimai
1 pratimas
Sukurti toliau nurodytą binominį kubą: (4x - 6) 3.
Sprendimas
Prisimindami, kad binominis kubas yra lygus pirmajam kubui iškeltam terminui, atėmus pirmojo kadro kvadratą antruoju; plius pirmosios kadencijos trigubas, antrasis kvadratas, atėmus antrojo kadro kubą.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
2 pratimas
Sukurti tokį binominį: (x + 3) (x + 8).
Sprendimas
Yra binomas, kuriame yra bendras terminas, kuris yra x ir antrasis terminas yra teigiamas. Tam, kad ją būtų galima sukurti, turite užpildyti tik bendrą terminą, taip pat terminų, kurios nėra įprastos (3 ir 8), sumą, o po to jas padauginti iš bendro termino ir sumos, kuri nėra bendra.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
