Kryžminis produktas: savybės, programos ir išspręstos pratybos

Kryžminis produktas arba vektorinis produktas yra būdas dauginti du ar daugiau vektorių. Yra trys būdai, kaip dauginti vektorius, tačiau nė vienas iš jų nėra dauginimas įprastu žodžio prasme. Viena iš šių formų yra žinoma kaip vektorinis produktas, kurio rezultatas yra trečiasis vektorius.

Vektorinis produktas, kuris taip pat vadinamas kryžminiu produktu arba išoriniu produktu, turi skirtingas algebrines ir geometrines savybes. Šios savybės yra labai naudingos, ypač fizikos studijose.

Apibrėžimas

Oficialus vektoriaus produkto apibrėžimas yra toks: jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3) yra vektoriai, tada A ir B vektorinis produktas, kurį mes žymime kaip AxB, yra:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Dėl žymėjimo „AxB“ jis rašomas kaip „A kryžius B“.

Pavyzdys, kaip naudoti išorinį produktą yra tai, kad jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4) yra vektoriai, tada naudojant vektorinio produkto apibrėžimą turime:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Kitas vektorinio produkto išraiška yra nustatomas pagal determinantą.

Antrosios eilės nustatymo apskaičiavimą pateikia:

Todėl vektoriaus produkto formulę, pateiktą apibrėžime, galima perrašyti taip:

Tai paprastai supaprastinama trečiąja tvarka nustatančiu būdu:

Kur i, j, k reiškia vektorius, kurie sudaro R3 pagrindą.

Naudojant šį kryžminio produkto išraišką, mes turime, kad ankstesnį pavyzdį galima perrašyti kaip:

Savybės

Kai kurios vektoriaus produkto savybės yra šios:

Turtas 1

Jei A yra bet koks R3 vektorius, turime:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Šias savybes lengva patikrinti naudojant tik apibrėžimą. Jei A = (a1, a2, a3), turime:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jei i, j, k yra R3 vieneto pagrindas, juos galima rašyti taip:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Tada turime įvykdyti šias savybes:

Kaip atminties taisyklė, norint prisiminti šias savybes, paprastai naudojamas šis ratas:

Turėtume atkreipti dėmesį į tai, kad bet kuris vektorius su savimi sukelia vektorių 0, o likę produktai gali būti gauti pagal šią taisyklę:

Dviejų iš eilės einančių vektorių kryžminis produktas pagal laikrodžio rodyklę suteikia tokį vektorių; ir, atsižvelgiant į prieš laikrodžio rodyklę, rezultatas yra šis vektorius su neigiamu ženklu.

Dėl šių savybių matome, kad vektoriaus produktas nėra komutacinis; pavyzdžiui, pakanka pastebėti, kad ixj ≠ jx i. Toliau pateikta informacija nurodo, kaip „AxB“ ir „BxA“ yra susiję apskritai.

Turtas 2

Jei A ir B yra R3 vektoriai, turime:

AxB = - (BxA).

Demonstravimas

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), pagal išorės produkto apibrėžimą turime:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Taip pat galime pastebėti, kad šis produktas nėra susijęs su šiuo pavyzdžiu:

ix (ixj) = ixk = - j, bet (ixi) xj = 0xj = 0

Iš to galime pastebėti, kad:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Turtas 3

Jei A, B, C yra R3 ir r vektoriai yra tikrasis skaičius, tai tiesa:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = ašis (rB)

Šių savybių dėka galime apskaičiuoti vektoriaus produktą, naudojant algebros įstatymus, su sąlyga, kad laikomasi užsakymo. Pavyzdžiui:

Jei A = (1, 2, 3) ir B = (3, -2, 4), mes galime juos perrašyti pagal R3 kanoninį pagrindą.

Taigi A = i + 2j + 3k ir B = 3i - 2j + 4k. Tada, taikydami ankstesnes savybes:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

4 nuosavybė (trigubas skalaras)

Kaip minėjome pradžioje, yra ir kitų būdų dauginti vektorius be vektoriaus produkto. Vienas iš šių būdų yra skaliarinis produktas arba vidinis produktas, kuris žymimas A ∙ B ir kurio apibrėžimas yra:

Jei A = (a1, a2, a3) ir B = (b1, b2, b3), tada A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Savybė, susijusi su abiem produktais, yra žinoma kaip trigubas skalaras.

Jei A, B ir C yra R3 vektoriai, tada A ∙ BxC = AxB ∙ C

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kad, atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši nuosavybė yra įvykdyta.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Kita vertus:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Kitas trigubas produktas yra Ax (BxC), kuris yra žinomas kaip trigubas vektorinis produktas.

Turtas 5 (trigubas vektorinis produktas)

Jei A, B ir C yra R3 vektoriai, tada:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kad, atsižvelgiant į A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ir C = (- 5, 1, - 4), ši nuosavybė yra įvykdyta.

Iš ankstesnio pavyzdžio žinome, kad BxC = (- 18, - 22, 17). Apskaičiuokite Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Kita vertus, turime:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Taigi, turime:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27, 19, -4)

Turtas 6

Tai viena iš geometrinių vektorių savybių. Jei A ir B yra du vektoriai R3 ir Θ yra kampas, suformuotas tarp jų, tada:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kur || ∙ || reiškia vektoriaus modulį arba dydį.

Šio objekto geometrinis aiškinimas yra toks:

Leiskite A = PR ir B = PQ. Tada kampas, kurį sudaro vektoriai A ir B, yra trikampio RQP kampas P, kaip parodyta toliau pateiktame paveiksle.

Todėl lygiagretės su gretimų kraštų PR ir PQ plotas yra || A |||| B || sin (Θ), nes mes galime imtis pagrindo || A || ir jo aukštį nurodo || B || sin (Θ).

Dėl to galime daryti išvadą, kad || AxB || yra minėtos lygiagretės plotis.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šias keturkampio P (1, -2, 3), Q (4, 3, -1), R (2, 2, 1) ir S (5, 7, -3) viršūnes, parodyti, kad minėtas keturkampis Tai yra lygiagretė ir rasti jos plotą.

Tam mes pirmiausia nustatome vektorius, kurie nustato keturkampio šonų kryptį. Tai yra:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kaip mes galime stebėti, kad A ir C turi tą patį vektoriaus režisierių, kurių abu yra lygiagrečiai; tokiu pat būdu, kaip ir su B ir D, darome išvadą, kad PQRS yra lygiagretė.

Jei norite, kad minėtos lygiagretės plotis būtų apskaičiuotas, apskaičiuojame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Todėl kvadratinis plotas bus:

|| BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Galima daryti išvadą, kad paralelogramų sritis bus 89 kvadratinė šaknis.

Nuosavybė 7

Du A ir B vektoriai yra lygiagrečiai R3, jei ir tik tuo atveju, jei AxB = 0

Demonstravimas

Akivaizdu, kad jei A arba B yra nulinis vektorius, tai reiškia, kad AxB = 0. Kadangi nulinis vektorius yra lygiagretus bet kuriam kitam vektoriui, tada nuosavybė galioja.

Jei nė vienas iš dviejų vektorių yra nulinis vektorius, mes turime, kad jų dydžiai skiriasi nuo nulio; tai yra, abu || A || ≠ 0 kaip || B || ≠ 0, todėl turėsime || AxB || = 0, jei ir tik jei sin (Θ) = 0, ir tai atsitinka, jei ir tik tada, jei if = π arba Θ = 0.

Todėl galime daryti išvadą, kad AxB = 0, jei ir tik tada, kai Θ = π arba Θ = 0, o tai atsitinka, kai abu vektoriai yra lygiagrečiai vienas kitam.

Turtas 8

Jei A ir B yra du vektoriai R3, tada AxB yra statmenas tiek A, tiek B.

Demonstravimas

Šiam demonstravimui atminkite, kad du vektoriai yra statmenai, jei A ∙ B yra lygus nuliui. Be to, žinome, kad:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, bet AxA lygus 0. Todėl turime:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Todėl galime daryti išvadą, kad A ir AxB yra statmenai vienas kitam. Analogiškai turime:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0, turime:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Todėl „AxB“ ir „B“ yra statmenai vienas kitam ir su tuo parodomas turtas. Tai labai naudinga, nes jie leidžia mums nustatyti plokštumos lygtį.

1 pavyzdys

Gaukite plokštumos lygtį, kuri eina per taškus P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ir R (2, 1, 3).

Leiskite A = QR = (2 - 3, 1 + 2, 3 - 2) ir B = PR = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 2). Tada A = - i + 3j + k ir B = i - 2j + k. Kad surastumėte plokštumą, kurią sudaro šie trys taškai, pakanka surasti vektorių, kuris yra normalus plokštumai, ty AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Naudodami šį vektorių ir atsižvelgiant į tašką P (1, 3, 2), galime nustatyti plokštumos lygtį taip:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Taigi, mes turime, kad plokštumos lygtis yra 5x + 2y - z - 9 = 0.

2 pavyzdys

Raskite plokštumos lygtį, kurioje yra taškas P (4, 0, - 2) ir yra statmena kiekvienai plokštumai x - y + z = 0 ir 2x + y - 4z - 5 = 0.

Žinant, kad normalus vektorius į plokštumą ax + pagal + cz + d = 0 yra (a, b, c), mes turime, kad (1, -1, 1) yra normalus x - y + z = 0 y vektorius ( 2.1, - 4) yra normalus 2x + y - 4z - 5 = 0 vektorius.

Todėl normalus vektorius į norimą plokštumą turi būti statmenas (1, -1, 1) ir a (2, 1, - 4). Minėtas vektorius yra:

(1, -1, 1) x (2, 1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Tada mes turime, kad norima plokštuma yra ta, kurioje yra taškas P (4, 0, - 2) ir vektorius (3, 6, 3) yra normalus vektorius.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Programos

Lygiagrečiojo srauto tūrio apskaičiavimas

Taikymas, turintis trigubą skalarinį produktą, turi sugebėti apskaičiuoti lygiagrečiojo skersmens, kurio kraštai pateikiami vektoriais A, B ir C, tūrį, kaip parodyta paveiksle:

Šią programą galime padaryti taip: kaip jau minėjome, vektorius AxB yra vektorius, kuris yra normalus A ir B plokštumai. Mes taip pat turime, kad vektorius - (AxB) yra kitas vektorius, normalus minėtai plokštumai.

Mes pasirenkame normalų vektorių, kuris su mažiausiu kampu sudaro vektorių C; neprarandant bendro pobūdžio, tegul AxB yra vektorius, kurio kampas su C yra mažiausias.

Mes turime, kad tiek „AxB“, tiek „C“ turi tą patį pradinį tašką. Be to, žinome, kad lygiagretės, kuri sudaro lygiagretės pagrindą, plotas yra || AxB ||. Todėl, jei lygiagrečiojo skersmens aukštis yra h, mes turime, kad jo tūris būtų:

V = || AxB || h.

Kita vertus, apsvarstykite skalarinį produktą tarp „AxB“ ir „C“, kurį galima apibūdinti taip:

Tačiau pagal trigonometrines savybes turime, kad h = || C || cos (Θ), todėl turime:

Tokiu būdu turime:

Apskritai, mes turime, kad lygiagrečiojo skersmens tūris apskaičiuojamas pagal absoliučią vertę trigubo skalaro produkto AxB ∙ C.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Atsižvelgiant į taškus P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ir S = (2, 6, 9), šie taškai sudaro lygiagretį, kurio kraštai jie yra PQ, PR ir PS. Nustatykite minėto lygiagrečiojo srauto tūrį.

Sprendimas

Jei laikomės:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Naudodami trigubo skalaro produkto savybę, turime:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Todėl mes turime, kad minėto lygiagrečiojo srauto tūris yra 52.

2 pratimas

Nustatykite lygiagrečiojo skersmens, kurio kraštai yra A = PQ, B = PR ir C = PS, tūrį, kur taškai P, Q, R ir S yra (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ir (2, 2, 5).