Iš eilės išvestinės priemonės (su išspręstomis pratybomis)

Iš eilės išvestiniai dariniai yra funkcijos išvestiniai dariniai po antrojo darinio. Iš eilės išvestinių darinių apskaičiavimo procesas yra toks: mes turime funkciją f, kurią galime gauti ir taip gauti išvestinę funkciją f '. Šiam f išvestiniui galime jį dar kartą gauti, gaunant (f ')'.

Ši nauja funkcija vadinama antrąja išvestimi; visos iš antrosios apskaičiuotos išvestinės priemonės yra nuoseklios; Šie, taip pat vadinami aukštesne tvarka, turi puikių programų, tokių kaip informacijos apie grafiko grafiką pateikimas, antrasis išvestinis santykinių kraštutinių testų ir begalinės serijos nustatymas.

Apibrėžimas

Naudojant Leibnizo žymėjimą, mes turime, kad funkcijos „y“ išvestis „x“ atžvilgiu yra dy / dx. Norėdami išreikšti antrą „ir“ išvestį naudojant „Leibniz“ žymėjimą, rašome taip:

Apskritai, iš Leibnizo žymėjimo galime išreikšti sekančius darinius, kur n yra išvestinės eilės tvarka.

Kiti naudojami žymėjimai yra šie:

Keletas pavyzdžių, kai galime matyti skirtingas pastabas, yra:

1 pavyzdys

Gauti visas f funkcijos išvestines priemones, kurias apibrėžia:

Naudojant įprastus išvesties metodus, turime, kad f išvestinė priemonė yra:

Pakartodami procesą galime gauti antrą išvestinę priemonę, trečią išvestinę priemonę ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad ketvirtoji išvestinė priemonė yra lygi nuliui, o nulinis išvestis yra nulis, todėl turime:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ketvirtąją šios funkcijos išvestį:

Dėl šios funkcijos gauname:

Greitis ir pagreitis

Vienas iš motyvų, dėl kurių buvo nustatyta išvestinė priemonė, buvo momentinio greičio apibrėžimo paieška. Oficialus apibrėžimas yra toks:

Tegul y = f (t) yra funkcija, kurios grafikas apibūdina dalelės trajektoriją momentine t, tada jo greitis akimirksniu t yra:

Gavę dalelių greitį, galime apskaičiuoti momentinį pagreitis, kuris apibrėžiamas taip:

Akumuliatoriaus momentinis pagreitis, kurio kelio reikšmė yra y = f (t), yra:

1 pavyzdys

Dalelė juda linijoje pagal padėties funkciją:

Kur "ir" matuojamas metrais ir "t" sekundėmis.

- Kurioje akimirkoje jūsų greitis 0?

- Kokiu momentu yra jo pagreitis 0?

Išvedant pozicijos funkciją «ir», mes turime, kad jo greitis ir pagreitis būtų pateikiami atitinkamai:

Norint atsakyti į pirmąjį klausimą, pakanka nustatyti, kada funkcija v tampa nulis; tai yra:

Toliau nagrinėjame tokį klausimą:

2 pavyzdys

Dalelė juda linijoje pagal šią judėjimo lygtį:

Nustatykite «t, y» ir «v», kai a = 0.

Žinant, kad greitis ir pagreitis yra pateikiami

Toliau gauname ir gauname:

Atlikdami = 0, turime:

Iš kurių mes galime daryti išvadą, kad t reikšmė a yra lygi nuliui yra t = 1.

Tada, įvertinant padėties funkciją ir greičio funkciją t = 1, turime:

Programos

Supaprastintas derinimas

Iš eilės išvestiniai dariniai gali būti gaunami netiesiogiai.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į šią elipsę, raskite «ir»:

Netiesiogiai atsižvelgiant į kirvį, turime:

Tada, netiesiogiai grįždami prie kirvio, tai suteikia mums:

Galiausiai turime:

Santykiniai galai

Kitas panaudojimas, kurį galime suteikti antros eilės dariniams, yra santykinio funkcijų skaičiavimas.

Pirmojo išeities iš vietinių kraštutinumų kriterijus nurodo, kad jei turime funkciją f nepertraukiamai diapazone (a, b) ir yra c, kuris priklauso šiam intervalui, toks, kuris f yra panaikintas c (ty, kad c) yra kritinis taškas), gali pasireikšti vienas iš šių trijų atvejų:

- Jei f '(x)> 0 bet kuriai x, priklausančiai (a, c) ir f' (x) <0 x, priklausančioms (c, b), tada f (c) yra vietinis maksimalus.

- Jei f (x) 0 x, priklausantis (c, b), tada f (c) yra vietinis minimumas.

- Jei f (x) turi tą patį ženklą (a, c) ir (c, b), tai reiškia, kad f (c) nėra vietinis rodiklis.

Naudojant antros išvestinės priemonės kriterijų, galime žinoti, ar kritinis funkcijos numeris yra vietinis maksimalus ar mažiausias, nereikia matyti, koks funkcijos ženklas yra minėtuose intervaluose.

Antrasis išvesties kriterijus nurodo, kad jei f '(c) = 0 ir kad f' '(x) yra nepertraukiamas (a, b), atsitinka, kad jei f' '(c)> 0, tada f (c) yra vietinis minimumas ir jei f '' (c) <0, tada f (c) yra vietinis maksimalus.

Jei f '' (c) = 0, nieko negalime užbaigti.

Pavyzdys

Atsižvelgiant į funkciją f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, nustatykite f santykinius maksimalius ir minimalius dydžius, taikant antrojo išvesties kriterijų.

Pirmiausia apskaičiuojame f '(x) ir f' '(x) ir turime:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Dabar, f '(x) = 0, jei ir tik tada, jei 4x (x + 2) (x - 1) = 0, ir tai atsitinka, kai x = 0, x = 1 arba jautis = - 2.

Norint nustatyti, ar gauti kritiniai skaičiai yra santykiniai kraštutinumai, pakanka vertinti f '' ir stebėti jo ženklą.

f '' (0) = - 8, todėl f (0) yra vietinis maksimumas.

f '' (1) = 12, todėl f (1) yra vietinis minimumas.

f '' (- 2) = 24, taigi f (- 2) yra vietinis minimumas.

Taylor serija

Tegul f yra funkcija, apibrėžta taip:

Ši funkcija pasižymi konvergencijos spinduliu R> 0 ir turi visų užsakymų (-R, R) derinius. Toliau pateiktos f išvestinės dalys suteikia mums:

Atsižvelgiant x = 0, mes galime gauti cn reikšmes kaip jos darinių funkciją:

Jei kaip funkciją f (ty f ^ 0 = f), mes paimame an = 0, tada funkciją galima perrašyti taip:

Dabar apsvarstykite funkciją kaip įgaliojimų seriją x = a:

Jei atliksime analogišką analizę prieš tai, mes turėtume parašyti funkciją f kaip:

Šios serijos yra žinomos kaip „Taylor“ serijos f. Kai a = 0, mes turime konkretų atvejį, vadinamą Maclaurin serija. Šio tipo serijos yra labai svarbios matematinei reikšmei, ypač skaitinei analizei, nes dėka galime apibrėžti funkcijas kompiuteriuose, pvz., Ex, sin (x) ir cos (x).