Polinomų lygtys (su išspręstomis pratybomis)

Polinomos lygtys yra teiginys, kuris kelia dviejų išraiškų ar narių lygybę, kur bent viena iš terminų, sudarančių kiekvieną pusę lygybės, yra polinomai P (x). Šios lygtys pavadintos pagal jų kintamųjų laipsnį.

Apskritai, lygtis yra teiginys, kuriuo nustatoma dviejų išraiškų lygybė, kur bent viename iš jų yra nežinomų kiekių, kurie vadinami kintamaisiais arba nežinomais. Nors yra daug rūšių lygčių, jos paprastai skirstomos į dvi rūšis: algebrinę ir transcendentinę.

Polinominės lygtys turi tik algebrines išraiškas, kurios gali turėti vieną ar daugiau nežinomų lygčių. Pagal eksponentą (laipsnį) jie gali būti skirstomi į: pirmąjį laipsnį (tiesinį), antrąjį laipsnį (kvadratinį), trečiąjį laipsnį (kubinį), ketvirtąjį (ketvirtąjį), didesnį arba lygų penkiems ir neracionaliems.

Savybės

Polinomos lygtys yra išraiškos, kurias sudaro dviejų polinomų lygybė; tai yra, nežinomų (kintamųjų) ir fiksuotų skaičių (koeficientų) reikšmių, kai kintamieji gali turėti eksponentus, ribinės sumos, o jų vertė gali būti teigiamas sveikasis skaičius, įskaitant nulį.

Eksponentai nustato lygties laipsnį ar tipą. Ši išraiška, turinti didžiausią vertę, parodys absoliutų polinomo laipsnį.

Polinominės lygtys taip pat žinomos kaip algebrinė, jų koeficientai gali būti realūs arba sudėtingi, o kintamieji - nežinomi skaičiai, vaizduojami raidėmis, pvz., „X“.

Jei P (x) kintamasis kintamasis "x", rezultatas lygus nuliui (0), tada sakoma, kad ši vertė atitinka lygtį (tai yra sprendimas) ir paprastai vadinama polinomo šaknimi.

Kai sukuriama polinomo lygtis, norite rasti visas šaknis ar sprendimus.

Tipai

Yra kelių tipų polinomų lygčių, kurios skiriasi pagal kintamųjų skaičių, taip pat pagal jų eksponento laipsnį.

Taigi, polinomų lygtis - kur pirmasis terminas yra polinomas su tik viena nežinoma, atsižvelgiant į tai, kad jo laipsnis gali būti bet koks natūralus skaičius (n) ir antrasis terminas yra nulinis, gali būti išreikštas taip:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Kur:

- a _n, a _n-1 ir ₀ yra tikrieji koeficientai (skaičiai).

- a _n skiriasi nuo nulio.

- Eksponentas n yra teigiamas sveikasis skaičius, atitinkantis lygties laipsnį.

- x yra kintamasis arba nežinomas, kurį reikia ieškoti.

Absoliutus arba didesnis polinomo lygties laipsnis yra tas, kuris turi didesnę vertę tarp visų, kurie sudaro polinomą; tokiu būdu lygtys klasifikuojamos kaip:

Pirmoji klasė

Pirmojo laipsnio polinomų lygtys, taip pat žinomos kaip linijinės lygtys, yra tos, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 1, polinomas yra formos P (x) = 0; jis susideda iš linijinio termino ir nepriklausomo termino. Jis parašytas taip:

ax + b = 0.

Kur:

- a ir b yra realūs skaičiai jau ≠ 0.

- kirvis yra linijinis terminas.

- b yra nepriklausomas terminas.

Pavyzdžiui, lygtis 13x - 18 = 4x.

Norėdami išspręsti linijines lygtis, visi terminai, kuriuose yra nežinomas x, turi būti perduodami vienoje pusėje lygybės pusių, ir tie, kurie neturi to paties judėjimo į kitą pusę, kad būtų galima išvalyti ir gauti sprendimą:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

Tokiu būdu pateikta lygtis turi vieną tirpalą arba šaknį, kuris yra x = 2.

Antroji klasė

Antrojo laipsnio polinomų lygtis, taip pat žinomas kaip kvadratinės lygtys, yra tos, kuriose laipsnis (didžiausias eksponentas) yra lygus 2, polinomas yra P (x) = 0 formos ir sudarytas iš kvadratinio termino, viena linijinė ir viena nepriklausoma. Jis išreiškiamas taip:

ax2 + bx + c = 0.

Kur:

- a, b ir c yra realūs skaičiai jau ≠ 0.

- ax2 yra kvadratinis terminas, o „a“ yra kvadratinio termino koeficientas.

- bx yra tiesinis terminas, o „b“ - tiesinio termino koeficientas.

- c yra nepriklausomas terminas.

Tirpiklis

Paprastai šio tipo lygčių sprendimas pateikiamas išvalant x iš lygties, ir jis paliekamas taip, kuris vadinamas sprendimu:

Ten, (b2 - 4ac) vadinama lygties diskriminantu, ir ši išraiška nustato sprendimų, kuriuos lygtis gali turėti, skaičių:

- Jei (b2 - 4ac) = 0, lygtis turės vieną sprendimą, kuris yra dvigubas; tai yra, jūs turėsite du lygius sprendimus.

- Jei (b2 - 4ac)> 0, lygtis turės du skirtingus realius sprendimus.

- Jei (b2 - 4ac) <0, lygtis neturi sprendimo (ji turės du skirtingus sudėtingus sprendimus).

Pavyzdžiui, mes turime lygtį 4x2 + 10x - 6 = 0, kad ją išspręstume pirmiausia nurodome terminus a, b ir c, o tada pakeiskite ją formulėje:

a = 4

b = 10

c = -6.

Yra atvejų, kai antrojo laipsnio polinominės lygtys neturi trijų terminų, todėl jie yra skirtingai išspręsti:

- Jei kvadratinės lygtys neturi linijinės trukmės (ty b = 0), lygtis bus išreikšta kaip ax2 + c = 0. Norėdami ją išspręsti, x2 išvalomas ir kvadratinės šaknys yra taikomos kiekvienam nariui, prisimenant tai turėtų būti laikoma dviem galimais ženklais, kurie gali turėti inkognito:

ax2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

Pavyzdžiui, 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2

x ₂ = -2

- Kai kvadratinė lygtis neturi savarankiško termino (ty, c = 0), lygtis bus išreikšta kaip ax2 + bx = 0. Norint ją išspręsti, privalome išskirti bendrą nežinomo x koeficientą pirmame naryje; kadangi lygtis lygi nuliui, tiesa, kad bent vienas iš veiksnių bus lygus 0:

ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Tokiu būdu jūs turite:

x = 0

x = -b ÷ a.

Pavyzdžiui: turite lygtį 5x2 + 30x = 0. Pirmasis veiksnys:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Gauti du veiksniai, kurie yra xy (5x + 30). Manoma, kad vienas iš jų bus lygus nuliui, o kitas sprendimas bus pateiktas:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Pagrindinis laipsnis

Didesnio laipsnio polinominės lygtys yra tos, kurios prasideda nuo trečiojo laipsnio, kuris gali būti išreikštas arba išspręstas su bet kokio laipsnio bendra polinomine lygtimi:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Tai naudojama todėl, kad lygtis, didesnė nei du, yra polinomo faktoringo rezultatas; tai reiškia, kad jis išreiškiamas vieno ar didesnio laipsnio polinomų dauginimu, bet be tikrųjų šaknų.

Šio tipo lygčių sprendimas yra tiesioginis, nes dviejų veiksnių dauginimas bus lygus nuliui, jei bet kuris iš šių veiksnių yra nulinis (0); todėl kiekviena iš rastų polinomų lygčių turi būti išspręsta, lygindama kiekvieną iš jo veiksnių iki nulio.

Pavyzdžiui, jūs turite trečiojo laipsnio (kubinio) lygtį x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Norėdami išspręsti šią problemą, turite atlikti šiuos veiksmus:

- Terminai grupuojami:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.

- Nariai suskaidomi, kad gautų bendrą nežinomo veiksnio veiksnį:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4) _* (x + 1) = 0.

- Tokiu būdu gaunami du veiksniai, kurie turi būti lygūs nuliui:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Matyti, kad koeficientas (x2 + 4) = 0 neturės realaus sprendimo, o koeficientas (x + 1) = 0. Todėl sprendimas yra:

(x + 1) = 0