Analitinė geometrija: kokios studijos, istorija, programos

Analitinė geometrija tiria linijas ir geometrinius figūras, taikydama pagrindinius algebros metodus ir matematinę analizę konkrečioje koordinačių sistemoje.

Todėl analitinė geometrija yra matematikos filialas, kuriame išsamiai analizuojami visi geometrinių figūrų duomenys, t. Y. Apimtis, kampai, plotas, sankirtos taškai, jų atstumai.

Pagrindinė analitinės geometrijos ypatybė yra tai, kad ji leidžia atvaizduoti geometrines figūras per formulę.

Pavyzdžiui, apskritimus vaizduoja antrosios pakopos polinomos lygtys, o linijos yra išreikštos pirmojo laipsnio polinominėmis lygtimis.

Septynioliktajame amžiuje atsirado analitinė geometrija, nes reikėjo atsakyti į problemas, kurios iki šiol nebuvo išspręstos. Jis buvo kaip aukščiausio lygio atstovai René Descartes ir Pierre de Fermat.

Šiuo metu daugelis autorių nurodo, kad jis yra revoliucinis matematikos istorijos kūrinys, nes jis yra modernios matematikos pradžia.

Analitinės geometrijos istorija

Sąvoka „analitinė geometrija“ kyla Prancūzijoje XVII a., Kai reikia atsakyti į problemas, kurių negalima išspręsti naudojant algebros ir geometrijos izoliaciją, tačiau sprendimas buvo naudojamas abiem.

Pagrindiniai analitinės geometrijos atstovai

XVII a. Du prancūzai, atsitiktinai gyvenę, atliko tyrimus, kurie vienaip ar kitaip baigėsi analitinės geometrijos kūrimu. Šie žmonės buvo Pierre de Fermat ir René Descartes.

Šiuo metu manoma, kad analitinės geometrijos kūrėjas buvo René Descartes. Taip yra todėl, kad jis išleido savo knygą prieš Fermatą ir taip pat giliai su Descartes nagrinėja analitinės geometrijos temą.

Tačiau tiek „Fermat“, tiek „Descartes“ nustatė, kad linijos ir geometriniai skaičiai gali būti išreikšti lygtimis, ir lygtis galima išreikšti kaip linijas arba geometrinius figūras.

Remiantis šių dviejų atradimų duomenimis, galima teigti, kad abu yra analitinės geometrijos kūrėjai.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat buvo prancūzų matematikas, gimęs 1601 m. Ir mirė 1665 m. Gyvenimo metu studijavo Euklido, Apolloniaus ir Pappus geometriją, kad išspręstų tuo metu egzistuojančias matavimo problemas.

Vėliau šie tyrimai atskleidė geometrijos kūrimą. Jie buvo išreikšti savo knygoje „ Įvadas į plokščias ir tvirtas vietas “ („Ad Locos Planes et Solidos Isagoge“), kuris buvo paskelbtas praėjus 14 metų po mirties 1679 m.

Pierre de Fermat 1623 m. Taikė analitinę geometriją prie Apolloniaus teoremų geometrinėse vietose. Jis taip pat pirmą kartą taikė analitinę geometriją trijų dimensijų erdvėje.

René Descartes

Kartesius taip pat buvo matematikas, fizikas ir filosofas, gimęs 1596 m. Kovo 31 d. Prancūzijoje ir mirė 1650 m.

René Descartes 1637 m. Paskelbė savo knygą „ Diskutuoti apie vairavimo priežastį ir ieškoti tiesos moksluose “, geriau žinomą kaip „ Metodas “, ir iš čia pasauliui buvo pristatytas terminas „analitinė geometrija“. Vienas iš jos priedų buvo „Geometrija“.

Pagrindiniai analitinės geometrijos elementai

Analitinė geometrija susideda iš šių elementų:

Dekarto koordinačių sistema

Ši sistema pavadinta René Descartes.

Tai ne tas, kuris jį pavadino, nei baigė Dekarto koordinatės sistemą, bet jis buvo tas, kuris kalbėjo apie teigiamas skaičius koordinates, leidžiančias būsimiems mokslininkams jį užbaigti.

Ši sistema susideda iš stačiakampio koordinačių sistemos ir polinės koordinačių sistemos.

Stačiakampės koordinatės

Ji vadinama stačiakampiais koordinačių sistemomis į plokštumą, kurią sudaro dviejų statmenų skaitmeninių linijų linija, kur pjūvio taškas sutampa su bendruoju nuliu.

Tuomet ši sistema atitiktų horizontalią ir vertikalią liniją.

Horizontali linija yra X arba abscisės ašis. Vertikali linija būtų Y arba ašių ašis.

Poliarinės koordinatės sistema

Ši sistema yra atsakinga už taško santykinės padėties fiksuotoje linijoje ir fiksuoto taško linijoje tikrinimą.

Kartesinė linijos lygtis

Ši lygtis gaunama iš linijos, kai yra žinomi du taškai, kuriuose jis eina.

Tiesi linija

Tai yra tas, kuris nesiskiria ir todėl neturi kreivių ar kampų.

Konikos

Jie yra kreivės, apibrėžtos tiesiomis linijomis, kurios eina per fiksuotą tašką ir kreivės taškus.

Elipsė, perimetras, parabola ir hiperbola yra kūginės kreivės. Kiekvienas iš jų aprašytas žemiau.

Apskritimas

Jis vadinamas apskritimu uždaroje plokščioje kreivėje, kurią sudaro visi taško, esančio vienodos vidinės taško plokštumos taškai, ty apskritimo centro taškai.

Parabola

Tai plokštumos taškų, esančių vienodo atstumo nuo fiksuoto taško (fokusavimo) ir fiksuotos linijos (Directrix), vieta. Tada gairė ir dėmesys yra tai, kas apibrėžia palyginimą.

Parabolą galima gauti kaip revoliucijos kūginio paviršiaus sekciją plokštuma, lygiagreti generacijai.

Ellipse

Elipsė vadinama uždara kreivė, kuri apibūdina tašką, kai juda plokštumoje taip, kad jos atstumų iki dviejų (2) fiksuotų taškų (vadinamų židiniais) suma yra pastovi.

Hyperbola

Hiperbola yra kreivė, apibrėžta kaip plokštumos taškų lokusas, kurio skirtumas tarp dviejų fiksuotų taškų (židinių) atstumų yra pastovus.

Hiperboloje yra simetrijos ašis, kuri eina per židinius, vadinama židinio ašimi. Jis taip pat turi kitą, tai yra segmento mediatrix, turintis fiksuotus taškus pagal kraštutinumus.

Programos

Įvairiose kasdienio gyvenimo srityse taikomos įvairios analitinės geometrijos programos. Pavyzdžiui, daugelyje įrankių, kurie naudojami kasdien, galima rasti parabolą, vieną iš pagrindinių analitinės geometrijos elementų. Kai kurie iš šių įrankių yra šie:

Palydovinė antena

Parabolinės antenos turi reflektorių, susidariusį dėl parabolo, kuris sukasi ant antenos ašies. Šio veiksmo metu susidaręs paviršius vadinamas paraboloidu.

Šis paraboloido pajėgumas vadinamas parabolo optine savybe arba atspindžio savybe, ir dėl to yra įmanoma, kad paraboloidas atspindi elektromagnetines bangas, gaunamas iš maitinimo mechanizmo, kuris sudaro anteną.

Kabantys tiltai

Kai virvės svoris yra homogeniškas, tačiau tuo pačiu metu jis yra žymiai didesnis už pačios lyno svorį, rezultatas bus parabola.

Šis principas labai svarbus statant pakabos tiltus, kuriuos paprastai palaiko didelės plieninių kabelių konstrukcijos.

Parabolo principas kabančiuose tiltuose buvo naudojamas tokiose struktūrose kaip „Golden Gate“ tiltas, esantis San Francisko mieste, Jungtinėse Amerikos Valstijose, arba Didysis Akashi sąsiaurio tiltas, kuris yra Japonijoje ir susiejamas su Islandijos sala. Awaji su Honshū, pagrindine šios šalies sala.

Astronominė analizė

Analitinė geometrija astronomijos srityje taip pat buvo labai specifinė ir lemianti. Tokiu atveju analitinės geometrijos elementas, kuris yra centrinis, yra elipsė; Johannes Keplerio planetų judėjimo įstatymas tai atspindi.

Kepleris, matematikas ir vokiečių astronomas nustatė, kad elipsė buvo kreivė, kuri geriau pritaikė Marso judėjimą; anksčiau jis išbandė Koperniko pasiūlytą apykaitinį modelį, tačiau jo eksperimentų viduryje jis padarė išvadą, kad elipsė padėjo sukurti orbitą, visiškai panašų į jo tyrinėtą planetą.

Elipsės dėka Kepleris galėjo patvirtinti, kad planetos persikėlė į elipsines orbitas; šis svarstymas buvo vadinamasis antrasis Keplerio įstatymas.

Iš šio atradimo, kurį vėliau praturtino anglų fizikas ir matematikas Isaacas Newtonas, buvo galima ištirti planetų orbitinius judesius ir didinti žinias, kurias mes turime apie visatą, kurios dalimi mes esame.

Cassegrain teleskopas

„Cassegrain“ teleskopas pavadintas išradėjo, prancūzų kilmės fiziko Laurento Cassegraino vardu. Šiame teleskope naudojami analitinės geometrijos principai, nes jie dažniausiai susideda iš dviejų veidrodžių: pirmasis yra įgaubtas ir parabolinis, o antrasis - išgaubtas ir hiperbolinis.

Šių veidrodžių vieta ir pobūdis leidžia, kad defektas, vadinamas sferiniu aberacija, nebūtų vykdomas; šis defektas neleidžia, kad šviesos spinduliai atsispindėtų tam tikro objektyvo centre.

„Cassegrain“ teleskopas yra labai naudingas planetiniam stebėjimui, taip pat yra gana universalus ir lengvai valdomas.