Vektorių algebra: pagrindai, didmenys, vektoriai

Vektorinė algebra yra matematikos filialas, atsakingas už linijinių lygčių, vektorių, matricų, vektorių erdvių ir jų linijinių transformacijų sistemas. Tai susiję su tokiomis sritimis kaip inžinerija, diferencialinių lygčių sprendimas, funkcinė analizė, operacijų tyrimai, kompiuterinė grafika.

Kita sritis, kuri priėmė linijinį algebrą, yra fizika, nes dėl to ji buvo sukurta fiziniams reiškiniams tirti, apibūdinant juos naudojant vektorius. Tai leido geriau suprasti visatą.

Pagrindai

Vektorinė algebra kilo iš kvaternionų (realių skaičių pratęsimo) 1, i, j ir k tyrimas, taip pat Gesbso ir Heaviside'o skatinama Dekarto geometrija, supratusi, kad vektoriai tarnauja kaip instrumentas atstovauti įvairiems fiziniams reiškiniams.

Vektorinė algebra yra tiriama per tris pamatus:

Geometriškai

Vektorius vaizduoja linijos, turinčios orientaciją, ir tokios operacijos kaip pridėjimas, atimtis ir dauginimas iš realių skaičių yra apibrėžtos geometriniais metodais.

Analitiškai

Vektorių ir jų operacijų aprašymas atliekamas skaičiais, vadinamais komponentais. Šio tipo aprašymas yra geometrinio atvaizdavimo rezultatas, nes naudojama koordinačių sistema.

Aksiomatiškai

Sukurtas vektorių aprašymas, nepriklausomai nuo koordinačių sistemos ar bet kokio tipo geometrinio atvaizdavimo.

Skaitmenų erdvėje tyrimas atliekamas per jų atstovavimą etaloninėje sistemoje, kuri gali būti viena ar daugiau matmenų. Tarp pagrindinių sistemų yra:

- Vieno matmens sistema, kuri yra linija, kurioje vienas taškas (O) reiškia kilmę ir kitas taškas (P) nustato skalę (ilgį) ir jo kryptį:

- stačiakampė koordinačių sistema (dvimatė), kurią sudaro dvi statmenos linijos, vadinamos x ašimi ir y ašimi, kurios eina per tašką (O); tokiu būdu plokštuma yra suskirstyta į keturis regionus, vadinamus kvadrantais. Šiuo atveju taškas (P) plokštumoje yra atstumas tarp ašių ir P.

- Poliarinės koordinatės sistema (dvimatė). Tokiu atveju sistema susideda iš taško O (kilmė), kuri vadinama poliu ir spinduliu, kurio kilmė yra O, vadinama poline ašimi. Šiuo atveju plokštumos taškas P, atsižvelgiant į polių ir polinę ašį, yra nustatomas pagal kampą (Ɵ), kurį sudaro atstumas tarp pradžios ir taško P.

- Stačiakampė trimatė sistema, sudaryta iš trijų statmenų linijų (x, y, z), kurių kilmės vieta yra taškas O. Suformuotos trys koordinačių plokštumos: xy, xz ir yz; erdvė bus suskirstyta į aštuonis regionus, vadinamus oktanais. Erdvės taško P nuorodą nurodo atstumai, esantys tarp plokštumų ir P.

Matmenys

Didelis dydis yra fizinis kiekis, kurį galima suskaičiuoti arba išmatuoti skaitine verte, kaip ir kai kurių fizinių reiškinių atveju; vis dėlto dažnai reikia sugebėti apibūdinti šiuos reiškinius su kitais veiksniais, kurie nėra skaitiniai. Todėl šie dydžiai skirstomi į du tipus:

Scalar dydis

Jie yra tokie kiekiai, kurie yra apibrėžti ir pateikiami skaitmeniniu būdu; tai yra modulis kartu su matavimo vienetu. Pavyzdžiui:

a) Laikas: 5 sekundės.

b) Masė: 10 kg.

c) Tūris: 40 ml.

d) Temperatūra: 40 ° C.

Vektoriaus dydis

Jie yra tokie kiekiai, kuriuos apibrėžia ir vaizduoja modulis kartu su įrenginiu, taip pat jausmas ir kryptis. Pavyzdžiui:

a) Greitis: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) pagreitis: 13 m / s2; S 45º E.

c) jėga: 280 N, 120º.

d) Svoris: -40 ĵ kg-f.

Vektoriniai dydžiai vaizduojami vektoriais.

Kas yra vektoriai?

Vektoriai yra vektoriniai dydžiai; ty jie yra tiesios linijos segmentai, kuriuose jų galutinis galas yra rodyklės galas.

Tai lemia jo modulis arba segmento ilgis, jo reikšmė, kurią nurodo jo rodyklės galas ir kryptis pagal liniją, kuriai ji priklauso. Vektoriaus kilmė taip pat žinoma kaip taikymo vieta.

Vektoriaus elementai yra šie:

Modulis

Tai atstumas nuo vektoriaus pradžios iki galo, atstovaujamas tikruoju skaičiumi kartu su įrenginiu. Pavyzdžiui:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Adresas

Tai yra kampo tarp x ašies (nuo teigiamo) ir vektoriaus, taip pat kardinalinių taškų (šiaurės, pietų, rytų ir vakarų) matas.

Sense

Ją suteikia rodyklė, esanti vektoriaus gale, nurodydama, kur ji yra nukreipta.

Vektorių klasifikavimas

Paprastai vektoriai klasifikuojami kaip:

Fiksuotas vektorius

Tai yra tas, kurio taikymo vieta (kilmė) yra nustatyta; tai reiškia, kad ji lieka susieta su vietos tašku, priežastimi, kodėl ji negali būti perkelta į tą vietą.

Laisvas vektorius

Jis gali laisvai judėti erdvėje, nes jo kilmė pereina į bet kurį tašką, nekeičiant jo modulio, jausmo ar krypties.

Slankusis vektorius

Tai yra tas, kuris gali perkelti savo kilmę išilgai savo veiklos linijos nekeičiant jo modulio, krypties ar krypties.

Vektorių savybės

Tarp pagrindinių vektorių savybių yra:

Equipolentes vektoriai

Jie yra tie laisvi vektoriai, turintys tą patį modulį, kryptį (arba jie yra lygiagrečiai) ir supranta, kad stumdomasis vektorius arba fiksuotas vektorius.

Ekvivalentiniai vektoriai

Tai atsitinka, kai du vektoriai turi tą pačią kryptį (arba yra lygiagrečiai), ta pačia prasme, ir nepaisant skirtingų modulių ir taikomųjų taškų, jie sukelia tokį patį poveikį.

Vektorių vienodumas

Jie turi tokį patį modulį, kryptį ir prasmę, nors jų pradiniai taškai yra skirtingi, o tai leidžia lygiagrečiam vektoriui judėti, nepaveikiant jo.

Priešais vektorius

Jie yra tie patys moduliai ir kryptys, tačiau jų reikšmė yra priešinga.

Vektorinis vienetas

Tai tas, kuriame modulis yra lygus įrenginiui (1). Tai gaunama dalijant vektorių iš jo modulio ir naudojama vektoriaus kryptimi ir prasme nustatyti plokštumoje arba erdvėje, naudojant bazę arba suvienodintus normalizuotus vektorius, kurie yra:

Nulinis vektorius

Tai tas, kurio modulis yra lygus 0; tai yra jų kilmės taškas ir pabaiga tame pačiame taške.

Vektoriaus komponentai

Vektoriaus komponentai yra tos vektoriaus projekcijos, kurios yra atskaitos sistemos ašyse; Priklausomai nuo vektoriaus skilimo, kuris gali būti dviejų ar trijų dimensijų ašimis, bus gauti du arba trys komponentai.

Vektoriaus komponentai yra tikrieji skaičiai, kurie gali būti teigiami, neigiami arba netgi nuliniai (0).

Taigi, jei mes turime vektorių Â, kilę iš stačiakampio koordinačių sistemos xy (dvimatėje) plokštumoje, x ašies projekcija yra Āx, o projekcija y ašyje yra Āy. Taigi vektorius bus išreikštas kaip komponentų vektorių suma.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Turime vektorių Â, kuris prasideda nuo jo galų ir koordinačių. Taigi vektorius Â = (Â _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Jei vektorius Â veikia trimatės trikampio koordinatės sistemoje (erdvėje) x, y, z, į kitą tašką (P), jo ašių projekcijos bus Āx, Āy ir Āz; taigi vektorius bus išreikštas kaip trijų komponentų vektorių suma.

Antrasis pavyzdys

Turime vektorių Â, kuris prasideda nuo jo galų ir koordinačių. Taigi vektorius Â = (A _x ; A _; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Vektorius, kurių stačiakampės koordinatės, galima išreikšti jų baziniais vektoriais. Tuo tikslu tik kiekviena koordinatė turi būti padauginta iš atitinkamo vieneto vektoriaus taip, kad plokštumoje ir erdvėje jie būtų tokie:

Lėktuvui: Â = A _x i + A _ir j.

Erdvė: Â = A _x i + A _ir j + A _z k.

Operacijos su vektoriais

Yra daugybė matmenų, turinčių modulį, jausmą ir kryptį, pavyzdžiui, pagreitis, greitis, poslinkis, jėga.

Jos taikomos įvairiose mokslo srityse, o jas taikyti kai kuriais atvejais būtina atlikti vektorių ir skalarų pridėjimą, atėmimą, dauginimą ir padalijimą.

Vektorių papildymas ir atėmimas

Vektorių pridėjimas ir atėmimas laikomas vienu algebriniu veiksmu, nes atimtis gali būti parašyta kaip suma; pavyzdžiui, vektorių ir Ē atėmimas gali būti išreikštas kaip:

Â - Ē = Ā + (-Ē)

Yra įvairių metodų, kaip atlikti vektorių pridėjimą ir atimimą: jie gali būti grafiniai arba analitiniai.

Grafiniai metodai

Naudojamas, kai vektorius turi modulį, jausmą ir kryptį. Norėdami tai padaryti, sudaromos eilutės, kurios sudaro paveikslą, kuris vėliau padeda nustatyti rezultatą. Tarp geriausiai žinomų, išsiskiria šie:

Paralelogramų metodas

Norint pridėti ar atimti du vektorius, koordinačių ašyje yra pasirinktas bendras taškas, kuris atstovaus vektorių kilmės tašką, išlaikydamas jo modulį, kryptį ir kryptį.

Tada linijos sudaromos lygiagrečiai vektoriams, kad sudarytumėte lygiagretę. Gautas vektorius yra įstrižainė, kuri palieka iš abiejų vektorių kilmės taško iki lygiagretės viršūnės:

Trikampio metodas

Šiuo metodu vektoriai yra vienas šalia kito, išlaikant jų modulius, kryptis ir kryptis. Gautas vektorius bus pirmojo vektoriaus sujungimo su antro vektoriaus pabaiga:

Analitiniai metodai

Geometriniu arba vektoriniu metodu galite pridėti arba atimti du ar daugiau vektorių:

Geometrinis metodas

Kai du vektoriai sudaro trikampį arba lygiagretę, gauto vektoriaus modulį ir kryptį galima nustatyti naudojant sinusų ir kosinuso įstatymus. Taigi gauto vektoriaus modulis, taikantis kosino įstatymą ir trikampio metodą, pateikiamas:

Šioje formulėje β yra kampas priešais R šoną, ir tai yra lygus 180º - Ɵ.

Priešingai, lygiagretės metodu gautas vektorinis modulis yra:

Gauto vektoriaus kryptį nurodo kampas (α), kuris susidaro su vienu iš vektorių.

Pagal sinusų įstatymą vektorių pridėjimas ar atėmimas taip pat gali būti atliekamas trikampio arba lygiagretės metodu, žinant, kad kiekviename trikampyje kraštai yra proporcingi kampų krūtims:

Vektorinis metodas

Tai galima padaryti dviem būdais: priklausomai nuo jų stačiakampių koordinačių arba jų pagrindo vektorių.

Tai gali būti padaryta perkeliant vektorius, kurie bus pridedami arba atimami į koordinačių kilmę, o po to visos plokštumos (x, y) arba erdvės (x, y) kiekvienos ašies projekcijos. ir, z); galiausiai, jos komponentai pridedami algebriškai. Taigi, plokštumoje:

Gauto vektoriaus modulis yra:

Nors vietos yra:

Gauto vektoriaus modulis yra:

Vykdant vektoriaus sumas, taikomos kelios savybės:

- Asociatyvinė savybė: gautas nesikeičia, kai pridedami du vektoriai, o po to pridedamas trečiasis vektorius.

- Komutacinė savybė: vektorių tvarka nekeičia gauto.

- vektorinė paskirstymo savybė: jei skalaras yra dauginamas iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus skalaro dauginimui kiekvienam vektoriui.

- Scalar paskirstymo savybė: jei vektorius dauginamas iš dviejų skalarų sumos, jis yra lygus vektoriaus dauginimui kiekvienam skalarui.

Vektorių dauginimas

Vektorių dauginimasis ar produktas gali būti atliekamas kaip papildymas arba atimtis, tačiau tuo būdu jis praranda fizinę reikšmę ir beveik niekada nerandamas taikomosiose programose. Dėl šios priežasties dažniausiai naudojami produktai yra skaliarinis ir vektorinis produktas.

Scalar produktas

Jis taip pat žinomas kaip dviejų vektorių taškų produktas. Kai dviejų vektorių moduliai padauginami iš mažo kampo, kuris suformuotas tarp jų, kosinu, gaunamas skalaras. Jei norite įterpti skaliarinį produktą tarp dviejų vektorių, tarp jų yra taškas, kuris gali būti apibrėžtas taip:

Kampo, esančio tarp dviejų vektorių, vertė priklausys nuo to, ar jie yra lygiagrečiai, ar statmenai; Taigi, jūs turite:

- Jei vektoriai yra lygiagrečiai ir turi tą pačią prasmę, kosinas 0º = 1.

- Jei vektoriai yra lygiagretūs ir turi priešingus jutiklius, kosinas 180º = -1.

- Jei vektoriai yra statmeni, 90 ° = 0.

Šis kampas taip pat gali būti apskaičiuotas, žinant, kad:

Scalar produktas turi šias savybes:

- Komutacinė savybė: vektorių tvarka nekeičia skalaro.

- Skirstomoji savybė: jei skalaras yra padaugintas iš dviejų vektorių sumos, jis yra lygus skalaro dauginimui kiekvienam vektoriui.

Vektorius produktas

Dviejų vektorių A ir B vektoriaus dauginimas arba kryžminis produktas sukurs naują vektorių C ir yra išreikštas naudojant kryžminį tarp vektorių:

Naujasis vektorius turės savo savybes. Tokiu būdu:

- Kryptis: šis naujas vektorius bus statmenas plokštumai, kurią nustato pradiniai vektoriai.

- prasmė: tai nustatoma dešinės rankos taisyklėje, kur vektorius A pasukamas link B, nukreipiant sukimosi kryptį pirštais, o nykščiu pažymėtas vektoriaus pojūtis.

- Modulis: nustatomas pagal vektorių AxB modulius dauginant iš mažiausio kampo, esančio tarp šių vektorių, sinuso. Jis išreiškiamas: