Euklido teorema: formulės, demonstravimas, taikymas ir pratimai

Euklido teorema demonstruoja dešiniojo trikampio savybes, piešdama liniją, kuri ją padalija į du naujus teisingus trikampius, kurie yra panašūs vienas į kitą ir, savo ruožtu, yra panašūs į pradinį trikampį; tada yra proporcingumo ryšys.

Euklidas buvo vienas iš didžiausių senovės amžiaus matematikų ir geometrų, kurie demonstravo keletą svarbių teoremų. Vienas iš pagrindinių yra tas, kuris turi savo vardą, kuris buvo plačiai taikomas.

Taip buvo todėl, kad per šią teoriją paprasta paaiškinti geometrinius santykius, egzistuojančius dešiniajame trikampyje, kur jo kojos yra susijusios su jų projekcijomis hipotenzijoje.

Formulės ir demonstravimas

Euklido teorema siūlo, kad kiekviename dešiniajame trikampyje, sudarant liniją, kuri atitinka aukštį, atitinkantį dešiniojo kampo viršūnę, lyginant su hipotenusu, iš originalo susidaro du dešiniai trikampiai.

Šie trikampiai bus panašūs vienas į kitą ir bus panašūs į pradinį trikampį, o tai reiškia, kad jų panašios pusės yra proporcingos viena kitai:

Trijų trikampių kampai yra lygūs; tai reiškia, kad, sukant 180 laipsnių kampu, kampas sutampa. Tai reiškia, kad visi bus lygūs.

Tokiu būdu jūs taip pat galite patikrinti panašumą tarp trijų trikampių, jų kampų lygybės. Nuo trikampių panašumo Euklidas nustato šių dviejų proporcijų proporcijas:

- Aukštis.

- Kojų teorija.

Ši teorija turi platų taikymą. Senovėje jis buvo naudojamas aukščių arba atstumų skaičiavimui, o tai rodo didelį žingsnį trigonometrijai.

Šiuo metu ji taikoma daugelyje sričių, kurios yra paremtos matematika, pvz., Inžinerija, fizika, chemija ir astronomija.

Aukščio teorema

Ši teorija teigia, kad bet kuriame dešiniajame trikampyje aukštis, nukreiptas iš dešiniojo kampo, atsižvelgiant į hipotenziją, yra geometrinis proporcinis vidurkis (aukščio kvadratas) tarp kojų projekcijų, lemiančių hipotenziją.

Tai reiškia, kad aukščio kvadratas bus lygus numatytų kojų, sudarančių hipotenziją, padauginimui:

h _c 2 = m _* n

Demonstravimas

Atsižvelgiant į trikampį ABC, kuris yra stačiakampis viršūnėje C, brėžiant aukštį du panašūs dešinieji trikampiai, ADC ir BCD; todėl jų atitinkamos pusės yra proporcingos:

Kad aukštis h _c, atitinkantis segmento kompaktinį diską, atitinka hipotenziją AB = c, todėl turime:

Savo ruožtu tai atitinka:

Išvalydami hipotenę (h _c ), kad padaugintumėte du lygybės narius, turite:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c 2 = m _* n

Tokiu būdu hipotenės vertė nustatoma pagal:

Kojų teorija

Ši teorija teigia, kad bet kuriame dešiniajame trikampyje kiekvienos kojos matas bus geometrinis proporcinis vidurkis (kiekvienos kojos kvadratas) tarp hipotenažo matavimo (užbaigtas) ir kiekvieno jo projekcijos:

b2 = c _* m

a2 = c _* n

Demonstravimas

Atsižvelgiant į trikampį ABC, kuris yra stačiakampis viršūnėje C, kad jo hipotenzija yra c, brėžiant aukštį (h), nustatomos kojų a ir b projekcijos, kurios yra atitinkamai segmentai m ir n. hipotenzija.

Taigi, mes turime, kad aukštis, sudarytas iš dešiniojo trikampio ABC, sukuria du panašius dešinius trikampius, ADC ir BCD, kad atitinkamos pusės būtų proporcingos, kaip ir:

DB = n, kuris yra CB kojos projekcija ant hipotenažo.

AD = m, kuri yra kiaušinio AC projekcija ant hipotenzijos.

Tada hipotensija c nustatoma pagal jos projekcijų kojų sumą:

c = m + n

Dėl trikampių ADC ir BCD panašumo turime:

Pirmiau pateikiamas toks pat kaip:

Išvalydami koją „a“, kad padaugintumėte du lygybės narius, reikia:

a _* a = c _* n

a2 = c _* n

Taigi kojos „a“ reikšmę nurodo:

Panašiai, panašūs į trikampius ACB ir ADC, turime:

Pirmiau nurodyta suma yra lygi:

Išvalydami koją „b“, kad padaugintumėte du lygybės narius, reikia:

b _* b = c _* m

b2 = c _* m

Taigi kojos "b" reikšmę nurodo:

Euklido teoremų santykis

Teorijos, susijusios su aukščiu ir kojomis, yra tarpusavyje susijusios, nes abiejų matavimų rezultatai yra susiję su dešiniojo trikampio hipotenzija.

Euklido teoremų santykiu galima rasti ir aukščio vertę; tai įmanoma, išvalant m ir n reikšmes iš kojų teoremos ir pakeičiant jas aukščio teorema. Tokiu būdu aukštis yra lygus kojų padauginimui, padalytam iš hipotenzijos:

b2 = c _* m

m = b2 ÷ c

a2 = c _* n

n = a2 ÷ c

Aukščio teoremoje myn pakeičiamas:

h _c 2 = m _* n

h _c 2 = (b2 ÷ c) _* (a2 ÷ c)

h _c = (b2 _* a2) ÷ c

Išspręstos pratybos

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į trikampį ABC, stačiakampį A, nustatykite AC ir AD matmenis, jei AB = 30 cm ir BD = 18 cm

Sprendimas

Šiuo atveju matuojame vieną iš projektuotų kojų (BD) ir vieną iš pirminio trikampio (AB) kojų. Tokiu būdu, kojų teorema gali būti naudojama siekiant rasti BC kojų vertę.

AB2 = BD _* BC

(30) 2 = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD katetės vertę galima rasti žinant, kad BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Dabar galima nustatyti CATETE vertę, vėl taikydamas kojų teoremą:

AC2 = CD _* BD

AC2 = 32 _* 50

AC2 = 160

AC = 001600 = 40 cm

Norint nustatyti aukščio (AD) vertę, taikoma aukščio teorija, nes žinomos CD ir BD projekcinių kojų vertės:

AD2 = 32 _* 18

AD2 = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

2 pavyzdys

Nustatykite NN stačiakampio trikampio MNL aukščio (h) vertę, žinant segmentų matavimus:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Sprendimas

Jūs matuojate vieną iš kojų, išmatuotų ant hipotenzijos (PM), taip pat pradinio trikampio kojų matavimus. Tokiu būdu kojų teorema gali būti naudojama norint rasti kitos projekcinės kojos (LN) vertę:

NL2 = PM _* LM

(10) 2 = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Kaip jau žinome kojų vertę ir hipotenziją, atsižvelgiant į aukščio ir kojų teoremų santykį, galima nustatyti aukščio vertę:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 _* a2) ÷ c.

h = (102 _* 52) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20