Faktoringas: metodai ir pavyzdžiai

Faktorizacija yra metodas, per kurį polinomas išreiškiamas veiksnių, kurie gali būti skaičiai, raidės arba abu, dauginimo būdu. Faktorizuoti veiksnius, kurie yra bendri terminams, yra sugrupuoti ir tokiu būdu polinomas suskaidomas į keletą polinomų.

Taigi, kai veiksniai dauginasi, rezultatas yra originalus polinomas. Faktoringas yra labai naudingas metodas, kai turite algebrines išraiškas, nes jis gali būti konvertuojamas į kelių paprastų terminų dauginimą; pavyzdžiui: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Yra atvejų, kai polinomas negali būti įvertintas, nes nėra bendrų veiksnių tarp jo terminų; tokiu būdu šios algebrinės išraiškos skirstomos tik tarp jų ir 1. Pavyzdžiui: x + y + z.

Algebrinės išraiškos atveju bendras veiksnys yra didžiausias bendrų terminų, sudarančių jį, daliklis.

Faktoringo metodai

Yra keletas faktoringo metodų, kurie taikomi atsižvelgiant į atvejį. Kai kurie iš jų yra šie:

Faktoringas pagal bendrą veiksnį

Šiuo metodu nustatomi bendrieji veiksniai; tai yra tie, kurie kartojami išraiška. Tada taikoma paskirstymo nuosavybė, pašalinamas didžiausias bendras daliklis ir baigiamas faktorizavimas.

Kitaip tariant, nustatomas bendras išraiškos veiksnys ir kiekvienas terminas yra padalintas tarp jo; gauti terminai bus dauginami iš didžiausio bendro faktoriaus, išreiškiančio faktorizaciją.

1 pavyzdys

Faktorius (b2x) + (b2y).

Sprendimas

Pirma, mes nustatome bendrą terminą kiekvienam terminui, kuris šiuo atveju yra b2, o paskui paskirstykite terminus tarp bendro veiksnio:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Išreikšta faktorizacija, bendrąjį veiksnį padauginus iš gautų terminų:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

2 pavyzdys

Faktorius (2a2b3) + (3ab2).

Sprendimas

Šiuo atveju mes turime du veiksnius, kurie kartojami kiekviename terminui, kuris yra "a" ir "b", ir kurios yra pakeltos iki galios. Norint juos įvertinti, pirmiausia abu terminai suskirstomi į jų ilgą formą:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Galima pastebėti, kad koeficientas „a“ kartojamas tik vieną kartą per antrąjį terminą, o faktorius „b“ kartojamas du kartus; taigi per pirmąjį terminą yra tik 2, veiksnys „a“ ir „b“; antrajame etape tik 3 lieka.

Todėl rašome, kiek kartų kartojamas „a“ ir „b“, ir padauginami iš veiksnių, kurie liko iš kiekvieno termino, kaip matyti paveikslėlyje:

Faktorizacija pagal grupavimą

Kadangi ne visais atvejais yra aiškiai išreikštas didžiausias bendras polinomo daliklis, būtina imtis kitų veiksmų, kad būtų galima perrašyti polinomą ir tokiu būdu faktorių.

Vienas iš šių žingsnių yra polinomo terminų suskirstymas į kelias grupes ir tada naudoti bendrą faktoriaus metodą.

1 pavyzdys

Faktorius ac + bc + ad + bd.

Sprendimas

Yra 4 veiksniai, iš kurių du yra bendri: pirmajame žodyje yra «c», o antrajame - «d». Tokiu būdu abu terminai yra sugrupuoti ir atskirti:

(ac + bc) + (ad + bd).

Dabar galima taikyti bendrąjį faktoriaus metodą, padalijant kiekvieną terminą bendru veiksniu ir po to dauginant šį bendrąjį veiksnį pagal gautus terminus:

(ac + bc) / c = a + b

(skelbimas + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Dabar gausite abiejų terminų binomiją. Tai lemia dauginimas iš likusių veiksnių; tokiu būdu jūs turite:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Faktorizacija atliekant patikrinimą

Šis metodas naudojamas kvadratinių polinomų, taip pat vadinamų trinominiais, nustatymui; tai yra, tie, kurie yra struktūrizuoti kaip ax2 ± bx + c, kur "a" vertė skiriasi nuo 1. Šis metodas taip pat naudojamas, kai trinomas yra x2 ± bx + c ir "a" = 1,

1 pavyzdys

Faktorius x2 + 5x + 6.

Sprendimas

Mes turime kvadratinę trinomiją, kurios forma yra x2 ± bx + c. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite surasti du numerius, kurie, padauginus, duos rezultatą «c» (tai yra 6) ir kad jo suma yra lygi koeficientui «b», kuris yra 5. Šie skaičiai yra 2 ir 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tokiu būdu išraiška supaprastinama taip:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Kiekvienas terminas yra įvertintas:

- (x2 + 2x) bendras terminas yra ištrauktas: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2)

Taigi išraiška išlieka:

x (x +2) + 3 (x +2).

Kadangi jūs turite bendrą binomiją, norėdami sumažinti išraišką, ją padauginkite iš perteklių ir jūs turite:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2 pavyzdys

Faktorius 4a2 + 12a + 9 = 0.

Sprendimas

Mes turime kvadratinę trinomiją, kurios forma yra ax2 ± bx + c, ir norint ją faktorizuoti, dauginame visą išraišką x2 koeficientu; šiuo atveju 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Dabar turime surasti du numerius, kurie, kai jie dauginasi, duoda rezultatą "c" (kuri yra 36) ir kad, sujungus rezultatą, sudaro termino "a" koeficientą, kuris yra 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tokiu būdu išraiška perrašoma, atsižvelgiant į tai, kad 42 a2 = 4a _* 4a. Todėl paskirstymo turtas taikomas kiekvienam terminui:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Galiausiai išraiška yra padalinta iš a2 koeficiento; tai yra 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Ši išraiška yra tokia:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoringas su puikiais produktais

Yra atvejų, kai, norint visiškai atsižvelgti į ankstesnius metodus, jis tampa labai ilgas procesas.

Štai kodėl išraiška gali būti sukurta su puikių produktų formulėmis ir todėl procesas tampa paprastesnis. Tarp labiausiai naudojamų produktų yra:

- Dviejų kvadratų skirtumas: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Puikus kvadrato dydis: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Puikus kvadrato skirtumas: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- dviejų kubelių skirtumas: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- dviejų kubelių suma: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

1 pavyzdys

Factorize (52 - x2)

Sprendimas

Šiuo atveju yra dviejų kvadratų skirtumas; todėl taikoma nepaprasto produkto formulė:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

2 pavyzdys

Faktorius 16x2 + 40x + 252

Sprendimas

Tokiu atveju mes turime puikų kvadratą sumos, nes galime nustatyti du kvadratus, o likęs terminas - dviejų padauginus iš pirmojo termino kvadratinės šaknies, antrojo kadro kvadratinės šaknies.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Norėdami apskaičiuoti, skaičiuojamos tik pirmojo ir trečiojo termino kvadratinės šaknys:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

Tuomet dvi gautos sąlygos atskiriamos operacijos ženklu, o visas polinomas yra kvadratas:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

3 pavyzdys

27a3 faktorius - b3

Sprendimas

Ši išraiška yra atimtis, kurioje du veiksniai yra pakelti į kubą. Norint juos įvertinti, taikoma kubo skirtumo reikšmingo produkto formulė, kuri yra:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

Taigi, norint faktorizuoti, kiekvieno binominio termino kubinė šaknis yra išgaunama ir padauginta iš pirmojo termino kvadrato, pridėjus pirmojo termino antrąjį terminą, ir antrą kvadrato terminą.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3a

3 (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a-b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a-b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Faktoringas su Ruffini taisykle

Šis metodas naudojamas, kai turite polinomą, kurio laipsnis yra didesnis nei du, siekiant supaprastinti išraišką keliems mažesnio laipsnio polinomams.

1 pavyzdys

Faktorius Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

Sprendimas

Pirmiausia ieškokite numerių, kurie yra 12 dalikliai, ty nepriklausomas terminas; tai yra ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ir ± 12.

Tada x yra pakeista šiomis reikšmėmis, nuo mažiausios iki didžiausios, todėl nustatoma, kuri iš vertybių bus tiksli; tai yra, likusi dalis turi būti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

Ir taip toliau kiekvienam skirstytuvui. Tokiu atveju nustatyti veiksniai yra x = -1 ir x = 2.

Dabar taikomas „Ruffini“ metodas, pagal kurį ekspresijos koeficientai bus padalinti tarp veiksnių, nustatytų, kad padalinys būtų tikslus. Polinomų terminai yra užsakomi nuo aukščiausio iki mažiausio eksponento; tuo atveju, jei trūksta termino, kurio seka seka, 0 vietoj jo.

Koeficientai išdėstyti schemoje, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje.

Pirmasis koeficientas sumažinamas ir padauginamas iš daliklio. Tokiu atveju pirmasis daliklis yra -1, o rezultatas įterpiamas į kitą stulpelį. Tada koeficiento vertė pridedama vertikaliai su tuo rezultatu, kuris buvo gautas, ir rezultatas pateikiamas žemiau. Tokiu būdu procesas kartojamas iki paskutinio stulpelio.

Tada ta pati procedūra kartojama dar kartą, bet su antruoju dalikliu (kuris yra 2), nes išraiška vis dar gali būti supaprastinta.

Taigi, už kiekvieną gautą šaknį polinomas turės terminą (x - a), kur "a" yra šaknies vertė:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Kita vertus, šios sąlygos turi būti padaugintos iš likusios Ruffini taisyklės 1: 1 ir -6, kurios yra lygiai. Tokiu būdu susidariusi išraiška yra: (x2 + x - 6).

Polinomo faktoringo rezultato gavimas pagal „Ruffini“ metodą yra:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x2 + x - 6)

Norėdami baigti, 2 laipsnio polinomas, kuris pasirodo ankstesnėje išraiška, gali būti perrašytas kaip (x + 3) (x-2). Todėl galutinis faktorizavimas yra:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).