Diskretinis Furjė transformavimas: savybės, programos ir pavyzdžiai
Diskretiškas Furjė transformacija yra skaitinis metodas, naudojamas nustatyti mėginius, susijusius su spektriniais dažniais, kurie sudaro signalą. Studijuokite periodines funkcijas uždaruose parametruose, taip gaunant kitą atskirą signalą.
Norint gauti diskretišką signalo keturių N taškų keturių keturių transformaciją, seka x [n] turi atitikti šias 2 sąlygas :
x [n] = 0 n N - 1
Atlikdama šias sąlygas, diskrečiasis Furjė transformavimas gali būti apibrėžtas kaip
Diskretus Furjė transformavimas gali būti apibrėžiamas kaip atranka Fourier transformacijos N taškuose.
Diskretinės Furjė transformacijos interpretavimas
Yra du taškai, iš kurių galite interpretuoti rezultatus, gautus sekoje x s [n] per diskrečią Furjė transformaciją.
- Pirmasis atitinka spektrinius koeficientus, jau žinomus iš „Fourier“ serijos. Jis stebimas atskirais periodiniais signalais, o mėginiai sutampa su seka x s [n].
- Antrasis susijęs su diskrečio aperiodinio signalo spektru, o mėginiai atitinka seką x s [n].
Diskretus transformavimas yra pirminio analoginio signalo spektro apytikslis. Jo fazė priklauso nuo mėginių ėmimo laiko, o jo dydis priklauso nuo mėginių ėmimo intervalo.
Savybės
Struktūros algebriniai pamatai sudaro logiškus šių sekcijų pagrindus.
Linijiškumas
C. S n → C. F [ S k ]; Jei seka padauginama iš skalaro, taip pat bus pakeista.
T n + V n = F [T k ] + F [ Vk ]; Sumos transformacija yra lygi transformacijų sumai.
Dvilypumas
F [ Sn ] → (1 / N) S -k; Jei transformuota ekspresija perskaičiuojama pagal diskretų Furjė transformaciją, gaunama ta pati išraiška, skalėjant N ir apversta vertikalios ašies atžvilgiu.
Konversija
Pagal panašius tikslus, kurie Laplaso transformacijoje, funkcijų konvoliucija reiškia produktą tarp jo Fourier transformacijų. Konvoliucija taip pat taikoma diskretiškiems laikams ir yra atsakinga už daugelį modernių procedūrų.
X n * Rn → F [Xn]. [ Rn ]; Konvoliucijos transformacija yra lygi transformacijų rezultatui.
X n . Rn → F [X n ] * F [ Rn ]; Produkto transformacija yra lygi transformacijų konvekcijai.
Poslinkis
X nm → F [X k ] e -i (2π / N) km; Jei seka vėluojama m mėginiuose, jo poveikis diskrečiam transformavimui bus kampo, apibrėžto (2π / N) km, modifikacija.
Konjuguota simetrija
X t [-k] = X * t [k] = X t [N - K]
Moduliavimas
W-nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
Produktas
x [n] ir [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
Simetrija
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
Konjugatas
x * [n] ↔ X * t [-k]
Parseval lygtis
Panašumai ir skirtumai su Furjė transformacija
Kalbant apie įprastą Furjė transformaciją, jis turi keletą panašumų ir skirtumų. Furjė transformuoja seką į nuolatinę liniją. Tokiu būdu sakoma, kad Furjė kintamojo rezultatas yra kompleksinio realiojo kintamojo funkcija.
Priešingai, diskretiškas Furjė transformacija gauna atskirą signalą ir paverčia jį į kitą diskrečią signalą, ty seką.
Koks yra diskretiškas Furjė transformavimas?
Jos daugiausia skirtos labai paprastinti lygtis, o išvestines išraiškas paverčiant galios elementais. Skiriant diferencines išraiškas integruotų polinomų formose.
Optimizuojant, moduluojant ir modeliuojant rezultatus, tai yra standartizuota išraiška, kuri yra dažnas šaltinis inžinerijai po kelių kartų.
Istorija
Šią matematinę koncepciją 1811 m. Pristatė Juozapas B. Furjė, kurdamas šilumos sklaidos traktatą . Ją greitai priėmė įvairios mokslo ir inžinerijos šakos.
Ji buvo sukurta kaip pagrindinė darbo priemonė dalinių diferencialinių lygčių tyrimui, net lyginant su darbo santykiais tarp Laplaso transformacijos ir paprastųjų diferencialinių lygčių.
Bet kokia funkcija, kurią galima apdoroti su Furjė transformacija, turi būti negaliojanti už apibrėžto parametro.
Diskretinis Furjė transformavimas ir jo atvirkštinis
Diskretus transformavimas gaunamas išraiškos būdu:
Po diskretinės sekos X [n]
Diskretiško Furjė transformacijos inversija apibrėžiama išraiška:
Pasiekus atskirą transformaciją, nustatykite laiko sritį X [n].
Priverstinis
Parametravimo procesas, atitinkantis diskrečiąjį Furjė transformaciją, yra apvyniojimas. Norėdami atlikti transformaciją, turime apriboti seką laiku. Daugeliu atvejų minėti signalai neturi tokių apribojimų.
Seką, kuri neatitinka dydžio kriterijų, taikomų diskrečiam transformavimui, galima padauginti iš „lango“ funkcijos V [n], apibrėžiant sekos elgesį kontroliuojamame parametre.
X [n] V [n]
Spektro plotis priklausys nuo lango pločio. Padidėjus lango plotiui, apskaičiuotas transformavimas bus siauresnis.
Programos
Pagrindinio sprendimo apskaičiavimas
Diskretus Furjė transformavimas yra galingas įrankis tiriant atskiras sekas.
Diskretus Furjė transformavimas transformuoja nepertraukiamą kintamą funkciją į diskrečią kintamojo transformaciją.
Cauchy problema dėl šilumos lygties pateikia bendrą diskrečiojo Furjė transformacijos taikymo sritį . Kur sukuriama pagrindinė šilumos funkcija arba „Dirichlet“ branduolys, kuris taikomas nustatyto parametro mėginių vertėms.
Signalo teorija
Bendroji priežastis, kodėl diskretiškas Furjė transformacija šioje šakoje yra daugiausia dėl to, kad signalas yra būdingas, kaip begalinis lengviau apdorojamų signalų superpozicija.
Tai gali būti garso banga arba elektromagnetinė banga, diskrečiasis Furjė transformavimas išreiškia jį paprastų bangų superpozicijoje. Šis vaizdavimas yra gana dažnas elektros inžinerijoje.
„Fourier“ serija
Jie yra serijos, apibrėžtos pagal kosines ir krūtis. Jos padeda palengvinti darbą su bendromis periodinėmis funkcijomis. Taikant, jie yra dalinių ir paprastų diferencialinių lygčių sprendimo būdų dalis.
„Fourier“ serijos yra dar bendresnės nei „Taylor“ serijos, nes jos kuria periodines nenutrūkstamas funkcijas, kurios neturi reprezentacijos „Taylor“ serijoje.
Kitos Fourier serijos formos
Norint suprasti Furjė transformaciją, svarbu persvarstyti kitus būdus, kuriais galima rasti Furjė seriją, kol mes negalime apibrėžti „Fourier“ serijos savo sudėtinėje žymoje.
- „Fourier“ serijos, veikiančios 2L laikotarpiu:
Daug kartų būtina pritaikyti „Fourier“ serijos struktūrą periodinėms funkcijoms, kurių laikotarpis yra p = 2L> 0 intervale [-L, L].
- Furjė serijos nelygios ir lygios funkcijos
Laikoma, kad intervalas [-π, π] suteikia pranašumų naudodamas simetriškas funkcijų savybes.
Jei f yra lygus, „Fourier“ serija yra sukurta kaip „Cosines“ serija.
Jei f yra nelyginis, „Fourier“ serija yra sukurta kaip „Sines“ serija.
- Užpildytas „Fourier“ serijos žymėjimas
Jei turite funkciją f (t), kuri atitinka visus „Fourier“ serijos reikalavimus, tai galima pažymėti intervalu [-t, t], naudojant sudėtingą žymėjimą:
Pavyzdžiai
Kalbant apie pagrindinio sprendimo apskaičiavimą, pateikiami šie pavyzdžiai:
Laplaso lygtis
Šilumos lygtis
Schrödinger lygtis
Bangos lygtis
Kita vertus, yra diskrečiojo Furjė transformacijos taikymo signalų teorijos srityje pavyzdžiai:
- Sistemos identifikavimo problemos. Nustatyta fyg
-Problema su išvesties signalo nuoseklumu
- Problemos, susijusios su signalo filtravimu
Pratimai
1 pratimas
Apskaičiuokite diskrečią Fourier transformaciją kitai sekai.
Galite nustatyti x [n] TDF kaip:
X t [k] = {4, -j2, 0, j2} k = 0, 1, 2, 3
2 pratimas
Per skaitmeninį algoritmą norime nustatyti spektrinį signalą, apibrėžtą išraiška x (t) = et. Kai didžiausias dažnio prašymo koeficientas yra f m = 1Hz. Harmonikas atitinka f = 0, 3 Hz, o klaida yra mažesnė nei 5%. Apskaičiuokite f s, D ir N.
Atsižvelgiant į atrankos teoriją f s = 2f m = 2 Hz
Pasirenkama f 0 = 0, 1 Hz dažnio skiriamoji geba , iš kurios gauname D = 1 / 0, 1 = 10s
0, 3 Hz yra dažnis, atitinkantis indeksą k = 3, kur N = 3 × 8 = 24 mėginiai. Nurodoma, kad f s = N / D = 24/10 = 2, 4> 2
Kadangi tikslas yra pasiekti mažiausią galimą N vertę, šios vertės gali būti laikomos sprendimu:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0, 3 = 3, 33s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
