Vektoriaus erdvė: bazė ir matmuo, aksiomos, savybės, pavyzdžiai

Vektorinė erdvė yra tuščias rinkinys V = { u , v , w , ......}, kurio elementai yra vektoriai. Su jais atliekami kai kurie svarbūs veiksmai, tarp kurių:

- suma tarp dviejų vektorių u + v, kurios rezultatas yra z, kuris priklauso rinkiniui V.

- Realaus skaičiaus α dauginimas vektoriumi v : α v, kuris suteikia kitą vektorių ir priklauso V.

Norint žymėti vektorių, kurį naudojame paryškintu ( v yra vektorius), ir skalarams ar skaičiams graikų raidės (α yra skaičius).

Aksiomos ir savybės

Kad būtų vektorinė erdvė, turi būti įvykdytos šios aštuonios aksiomos:

1-įjungiamumas: u + v = v + u

2-Transityvumas: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-nulinio vektoriaus 0 buvimas, kad 0 + v = v

4 - Priešingumas: priešingumas v yra (- v ), nes v + (- v ) = 0

5-Produkto pasiskirstymas pagal vektoriaus sumą: α ( u + v ) = α u + α v

6-Produkto pasiskirstymas pagal skaliarinę sumą: (α + β) v = α v + β v

7 - Scalarų produkto asociatyvumas: α (β v ) = (α β) v

8-numeris 1 yra neutralus elementas, nes: 1 v = v

Vektorių erdvių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Vektoriai erdvės pavyzdžiai yra plokštumoje (R2) esantys vektoriai. Lėktuve esantis vektorius yra geometrinis objektas, turintis dydį ir kryptį. Jai atstovauja orientuotas segmentas, priklausantis minėtai plokštumai ir kurio dydis yra proporcingas jo dydžiui.

Dviejų vektorių suma plokštumoje gali būti apibrėžiama kaip antrojo vektoriaus vertimo geometrinė operacija po pirmojo. Šios sumos rezultatas yra orientuotas segmentas, kuris prasideda nuo pirmojo pradžios ir pasiekia antrojo galo.

Paveiksle galima pažymėti, kad suma R2 yra komutatyvi.

Α skaičiaus produktas taip pat apibrėžiamas vektoriaus. Jei skaičius yra teigiamas, pradinė vektoriaus kryptis išlaikoma ir dydis yra α kartų didesnis už pradinį vektorių. Jei skaičius yra neigiamas, adresas yra priešingas, o gauto vektoriaus dydis yra absoliuti skaičiaus vertė.

Vektorius, priešais vektorių, v yra - v = (- 1) v .

Nulinis vektorius yra taškas, esantis plokštumoje R2, o nulinis vektoriaus skaičius sukelia nulinį vektorių.

Viskas, kas pasakyta, pavaizduota 2 paveiksle.

2 pavyzdys

Visų polinomų, kurių laipsnis yra mažesnis arba lygus dviems, įskaitant nulinį laipsnį, rinkinys P sudaro rinkinį, kuris atitinka visas vektoriaus erdvės aksiomas.

Tegul polinomas P (x) = a x² + bx + c ir Q (x) = d x² + ex + f

Apibrėžta dviejų polinomų suma: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

P grupei priklausančių polinomų suma yra komutatyvi ir tranzitinė.

Nulinis polinomas, priklausantis rinkiniui P, yra tas, kuris turi visus jo koeficientus, lygius nuliui:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Scalaro α sumą apibrėžia polinomas, kaip antai: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Priešingas P (x) polinomas yra -P (x) = (-1) P (x).

Iš viso to, kas išdėstyta, darytina išvada, kad visų polinomų, kurių laipsnis yra mažesnis arba lygus dviems, rinkinys P yra vektoriaus erdvė.

3 pavyzdys

Visų m eilučių matricų rinkinys xn stulpelių, kurių elementai yra realūs skaičiai, sudaro realią vektoriaus erdvę, matricų ir produkto produkto matricos pridedimo operacijų atžvilgiu.

4 pavyzdys

Nuolatinių realaus kintamojo funkcijų rinkinys F sudaro vektoriaus erdvę, nes galima apibrėžti dviejų funkcijų sumą, skalaro dauginimąsi funkcija, nulinės funkcijos ir simetrinės funkcijos. Jie taip pat vykdo vektorinę erdvę apibūdinančias aksiomas.

Vektorinės erdvės bazė ir matmuo

Bazė

Vektorinės erdvės pagrindas apibrėžiamas kaip linijiniu požiūriu nepriklausomų vektorių rinkinys, kad bet koks vektoriaus erdvės vektorius gali būti generuojamas iš jų linijinio derinio.

Linijiškai sujungti du ar daugiau vektorių yra dauginti vektorius kai kuriais skalarais ir tada juos įtraukti vektoriniu būdu.

Pavyzdžiui, kanoninis pagrindas, kurį apibrėžia vieneto vektoriai (1 dydžio i), j, k, yra naudojamas trijų dimensijų, sudarytų R3, vektoriaus erdvėje.

Kur i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Tai yra Dekarto arba kanoniniai vektoriai.

Bet koks R3 priklausantis vektorius yra parašytas kaip V = a i + bj + c k, kuris yra tiesinių vektorių i, j, k linijinis derinys. Scalarai arba skaičiai a, b, c yra žinomi kaip V. Darteso komponentai .

Taip pat sakoma, kad vektoriaus erdvės pagrindiniai vektoriai sudaro vektoriaus erdvės generatorius.

Matmenys

Vektorinės erdvės matmuo yra minėtos erdvės vektoriaus pagrindo numeris; ty vektorių, kurie sudaro minėtą bazę, skaičius.

Šis kardinolas yra didžiausias to vektoriaus erdvės tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius ir tuo pat metu mažiausias vektorių skaičius, sudarantis minėtos erdvės generatorius.

Vektorinės erdvės pagrindai nėra unikalūs, bet visi to paties vektoriaus ploto pagrindai turi tą patį matmenį.

Vektorių pogrupis

V vektoriaus erdvės V vektorinė subkopa yra V pogrupis, kuriame tos pačios operacijos yra apibrėžtos kaip V ir atitinka visas vektoriaus erdvės aksiomas. Todėl subspace S taip pat bus vektoriaus erdvė.

Vektorinio subspace pavyzdys yra vektoriai, priklausantys XY plokštumai. Ši pogrupis yra dimensiškumo vektoriaus erdvės pogrupis, didesnis nei vektorių, priklausančių trimatės erdvės XYZ, rinkinys.

Kitas vektoriaus erdvės S vektoriaus subspace S1, kurį sudaro visos 2 × 2 matricos, turinčios realius elementus, pavyzdys yra toks, kaip apibrėžta toliau:

Vietoj to, žemiau apibrėžtas S2, nors jis yra S pogrupis, nesudaro vektoriaus podiumo:

Išspręstos pratybos

- 1 užduotis

Tegul vektoriai V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) ir V3 = (0, 0, 3) R3.

a) Įrodyti, kad jie yra tiesiškai nepriklausomi.

b) Įrodyti, kad jie sudaro bazę R3, nes bet kuris trigubas (x, y, z) gali būti parašytas kaip linijinis V1, V2, V3 derinys.

c) Raskite trigubo V = (-3, 5, 4) komponentus pagrinde V1, V2, V3 .

Sprendimas

Linijinio nepriklausomumo įrodymo kriterijus yra toliau pateiktų lygčių α, β ir γ nustatymas

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Jei vienintelis šios sistemos sprendimas yra α = β = γ = 0, vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, kitaip jie nėra.

Norėdami gauti α, β ir γ reikšmes, siūlome tokią lygčių sistemą:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Pirmasis - α = 0, antrasis α = -2 ∙ β, bet kaip α = 0, tada β = 0. Trečioji lygtis reiškia, kad γ = (- 1/3) β, bet kaip β = 0, tada γ = 0.

Atsakymas

Daroma išvada, kad tai yra linijiškai nepriklausomų vektorių R³ rinkinys.

Atsakymas b

Dabar parašykime trigubą (x, y, z) kaip linijinį V1, V2, V3 derinį.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Kur turite:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Pirmasis rodo α = x, antrasis β = (yx) / 2 ir trečiasis γ = (z- ir / 2 + x / 2) / 3. Tokiu būdu mes nustatėme bet kurio R 3 trigubo α, β ir γ generatorius

Atsakymas c

Raskime trikampio V = (-3, 5, 4) komponentus pagrinde V1, V2, V3 .

Atitinkamas reikšmes pakeisime anksčiau generatorių raiškose.

Šiuo atveju turime: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Tai yra, kad:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Galiausiai:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Darome išvadą, kad V1, V2, V3 sudaro 3 dimensijos vektoriaus erdvės R³ pagrindą.

- 2 pratimas

Išreiškite polinomo P (t) = t² + 4t -3 kaip P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ir P3 (t) = t + 3 linijinį derinį.

Sprendimas

P (t) = x P1 (t) + ir P2 (t) + z P3 (t)

kur reikia nustatyti skaičius x, y, z.

Daugindami ir grupuodami tokius pačius laipsnius t, jūs gaunate:

t + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Tai veda prie šios lygčių sistemos:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Šios lygčių sistemos sprendimai yra:

x = -3, y = 2, z = 4.

Tai yra, kad:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- 3 pratimas

Parodykite, kad vektoriai v1 = (1, 0, -1, 2); R2 yra v2 = (1, 1, 0, 1) ir v3 = (2, 1, -1, 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas

Mes linijiškai deriname tris vektorius v1, v2, v3 ir reikalaujame, kad derinys pridėtų „R“ nulinį elementą

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Turiu galvoje,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Tai veda prie šios lygčių sistemos:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Atimant pirmąjį ir ketvirtąjį turime: -a + c = 0, kas reiškia a = c.

Bet jei žiūrite į trečiąją lygtį, turime = -c. Vienintelis būdas pasiekti a = c = (- c) yra tai, kad c yra 0, todėl a taip pat bus 0.

a = c = 0

Jei mes pakeisime šį rezultatą pirmojoje lygtyje, darome išvadą, kad b = 0.

Galiausiai a = b = c = 0, todėl galime daryti išvadą, kad vektoriai v1, v2 ir v3 yra tiesiškai nepriklausomi.