Integracijos konstanta: reikšmė, kaip ji skaičiuojama ir pavyzdžiai

Integracijos konstanta yra pridėtinė vertė, apskaičiuota antideritams ar integralams, ji atstovauja sprendimams, kurie sudaro funkcijos primityvumą. Jis išreiškia būdingą dviprasmiškumą, kai bet kuri funkcija turi begalinį primityvų skaičių.

Pavyzdžiui, jei funkcija imama: f (x) = 2x + 1 ir mes gauname jos antivielinę:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Kur C yra integracijos konstanta ir grafiškai atspindi vertikalią vertimą tarp begalinių primityvių galimybių. Teisinga teigti, kad (x2 + x) yra vienas iš f (x) primityvių.

Taip pat galime apibrėžti a (x2 + x + C ) kaip f (x) primityvumą.

Grįžtamoji nuosavybė

Pažymėtina, kad išvedant išraišką (x2 + x) gaunama funkcija f (x) = 2x + 1, kuri yra dėl atvirkštinės savybės, esančios tarp funkcijų išvedimo ir integravimo. Ši savybė leidžia gauti integracijos formules nuo diferenciacijos. Tai leidžia patikrinti integralus per tuos pačius darinius.

Tačiau (x2 + x) nėra vienintelė funkcija, kurios išvestis yra lygi (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Kur 1, 2, 3 ir 4 yra konkretūs f (x) = 2x + 1 primityvai, o 5 reiškia f (x) = 2x + 1 neapibrėžtą ar primityvų integrą.

Funkcijos primityviai pasiekiami naudojant antideryvacijos arba integracijos procesą. Kur F bus f primityvus, jei taip yra

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integracijos konstanta
F '(x) = f (x)

Suprantama, kad funkcija turi vieną išvestį, kitaip nei jų begaliniai primityviai, atsirandantys dėl integracijos.

Neribotas integralas

∫ f (x) dx = F (x) + C

Atitinka kreivių šeimą, turinčią tą patį modelį, kuris patiria nesuderinamumą kiekvieno taško (x, y) vaizdų reikšme. Kiekviena funkcija, atitinkanti šį modelį, bus individualus primityvas ir visų funkcijų rinkinys yra žinomas kaip neribotas integralas.

Integracijos konstantos vertė bus ta, kuri praktiškai išskiria kiekvieną funkciją.

Integracijos konstanta rodo vertikalų poslinkį visuose grafikuose, kurie atspindi funkcijų primityvumą. Kai stebimas jų lygiagretumas, ir tai, kad C yra poslinkio vertė.

Pagal įprastą praktiką integracijos konstanta žymima raidėmis "C" po addendo, nors praktikoje tai yra abejinga, jei konstanta pridedama arba atimama. Jo tikrąją vertę galima rasti įvairiais būdais pagal skirtingas pradines sąlygas .

Kitos integracijos konstanta reikšmės

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip integracijos konstanta taikoma integruoto skaičiavimo šakoje; Atstovaujama kreivių šeima, apibrėžianti neapibrėžtą integrą. Tačiau daugelis kitų mokslų ir filialų priskyrė labai įdomias ir praktines integracijos konstanta vertybes , kurios palengvino daugelio studijų plėtrą.

Fizikoje integracijos konstanta gali būti kelios vertės pagal duomenų pobūdį. Labai dažnas pavyzdys yra žinoti V (t) funkciją, kuri atspindi dalelės greitį ir laiką t. Yra žinoma, kad apskaičiuojant V (t) primityvą, gaunama funkcija R (t), kuri atspindi dalelės padėtį laiko atžvilgiu.

Integracijos konstanta atspindi pradinės padėties vertę, ty momentą t = 0.

Panašiai, jei žinome funkciją A (t), kuri rodo dalelių pagreitį, palyginti su laiku. A (t) primityvas sukels funkciją V (t), kur integracijos konstanta bus pradinio greičio V _{0 vertė} .

Ekonomikoje, gaunant sąnaudų funkcijos primityvumą integracijos būdu. Integracijos konstanta atspindi fiksuotas išlaidas. Ir tiek daug kitų programų, kurioms reikalingas diferencinis ir integruotas skaičiavimas.

Kaip apskaičiuojama integracijos konstanta?

Norint apskaičiuoti integracijos konstantą, visada reikės žinoti pradines sąlygas . Kurie yra atsakingi už tai, kuris iš galimų primityvų yra atitinkamas.

Daugelyje programų ji laikoma nepriklausomu kintamuoju laiku (t), kur konstanta C atsižvelgia į vertes, kurios apibrėžia pradines konkretaus atvejo sąlygas.

Jei pradinis pavyzdys yra: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Galiojanti pradinė sąlyga gali būti sąlyga, kad grafikas pereis per tam tikrą koordinates. Pavyzdžiui, žinoma, kad primityvus (x2 + x + C) eina per tašką (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; tai yra bendras sprendimas

F (1) = 2

Šią lygybę pakeisime bendru sprendimu

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Iš kur lengvai galima daryti išvadą, kad C = 0

Tokiu būdu atitinkamas primityvas šiuo atveju yra F (x) = x2 + x

Yra keletas skaitinių pratimų rūšių, kurios veikia su integracijos konstantomis . Tiesą sakant, diferencinis ir integruotas skaičiavimas nustoja taikyti dabartiniuose tyrimuose. Skirtinguose akademiniuose lygmenyse galima rasti; iš pradinio skaičiavimo, be kita ko, vyksta fizika, chemija, biologija, ekonomika.

Taip pat matyti diferencialinių lygčių tyrime, kur integracijos konstanta gali būti įvairių vertybių ir sprendimų.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Laivas, esantis 30 metrų aukštyje, nuleidžia vertikaliai vertikaliai aukštyn. Yra žinoma, kad pradinis šūvio greitis yra 25 m / s. Nustatykite:

Funkcija, kuri apibrėžia šovinio padėtį laiko atžvilgiu.
Skrydžio laikas arba laiko momentas, kai dalelė liečia žemę.

Yra žinoma, kad vienodai kintančiame tiesiniame judesyje pagreitis yra pastovi vertė. Tai yra šovinio paleidimo atvejis, kur pagreitis bus gravitacija

g = - 10 m / s2

Taip pat žinoma, kad pagreitis yra antroji pozicijos išvestinė priemonė, kuri rodo dvigubą integraciją pratimo rezoliucijoje, taip gaunant dvi integracijos konstantas.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1

Pradinės pratimo sąlygos rodo, kad pradinis greitis yra V ₀ = 25 m / s. Tai yra greitis tuo momentu, kai t = 0. Taigi, tai reiškia, kad:

V (0) = 25 = -10 (0) + C1 ir C1 = 25

Nustatyta greičio funkcija

V (t) = -10t + 25; Galima pastebėti panašumą su MRUV formule (V _f = V ₀ + axt)

Homologiniu būdu greičio funkcija yra integruota, kad gautumėte išraišką, kuri apibrėžia poziciją:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C2

R (t) = -5t2 + 25t + C2 (primityvioji padėtis)

Pradinė padėtis R (0) = 30 m yra žinoma. Tada apskaičiuojamas konkretus šovinio primityvumas.

R (0) = 30 m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C2 . Kur C2 = 30

Pirmoji dalis yra išspręsta nuo R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Ši išraiška yra homologinė su poslinkio formule MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

Antrajame skyriuje turime išspręsti kvadratinę lygtį: -5t2 + 25t + 30 = 0

Kadangi dėl to dalelė pasiekia žemę (padėtis = 0)

Tiesą sakant, antros klasės lygtis suteikia mums 2 sprendimus: {6, -1}. Vertė t = -1 ignoruojama, nes yra laiko vienetai, kurių domene nėra neigiamų skaičių.

Tokiu būdu, antrasis skyrius yra išspręstas, kai skrydžio laikas yra 6 sekundės.

2 pavyzdys

Rasti pradinį f (x), kuris atitinka pradines sąlygas:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Antrosios išvestinės medžiagos f '' (x) = 4 informacija prasideda nuo antideryvacijos proceso

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Tada, žinodami f '(2) = 2 sąlygą, atlikite:

4 (2) + C1 = 2

C ₁ = -6 ir f '(x) = 4x - 8

Ta pati procedūra taikoma ir antrajai integracijos konstantai

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C ₂

Pradinė sąlyga f (0) = 7 yra žinoma ir mes tęsiame:

2 (0) 2 - 8 (0) + C2 = 7

C2 = 7 ir f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

Panašiai kaip ir ankstesnė problema, nustatome pirmuosius darinius ir pradinę funkciją iš pradinių sąlygų.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Su f '(0) = 6 sąlyga:

(03/3) + C1 = 6; Kur C1 = 6 ir f '(x) = (x3 / 3) + 6

Tada antrasis integracijos konstanta

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C2

Pradinė sąlyga f (0) = 3 yra žinoma ir tęsiama:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C2 = 3; Kur C2 = 3

Taip gaunamas konkretus primityvus

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

3 pavyzdys

Nustatykite primityvias funkcijas, atsižvelgiant į išvestines priemones ir grafiko tašką:

dy / dx = 2x - 2 Kas atsitinka per tašką (3, 2)

Svarbu prisiminti, kad išvestiniai dariniai nurodo linijos, kuri tam tikru momentu liečia kreivę, nuolydį. Kai netikslinga daryti prielaidą, kad išvestinės medžiagos grafikas paliečia nurodytą tašką, nes tai priklauso primityviosios funkcijos grafikai.

Tokiu būdu diferencialinę lygtį išreiškiame taip:

dy = ( 2x - 2) dx ; tada, taikydami antideryvavimo kriterijus, turime:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Pradinės sąlygos taikymas:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Jūs gaunate: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Kas atsitinka per tašką (0, 2)

Diferencialinę lygtį išreiškiame taip:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; tada, taikydami antideryvavimo kriterijus, turime:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Pradinės sąlygos taikymas:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Jūs gaunate: f (x) = x3 - x + 2

Siūlomi pratimai

1 pratimas

Rasti pradinį f (x), kuris atitinka pradines sąlygas:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

2 pratimas

Balionas, kuris kyla 16 pėdų per sekundę greičiu, išleidžia smėlio maišelį nuo 64 pėdų aukščio virš žemės lygio.

Nustatykite skrydžio laiką
Kas bus vektorius V _f, kai jis liečia grindis?

3 pratimas

Paveiksle parodyta automobilio, judančio teigiamoje x ašies kryptimi, pagreičio ir laiko grafikas. Automobilis važinėjo pastoviu 54 km / h greičiu, kai vairuotojas per 10 sekundžių sustabdė stabdžius. Nustatykite: