Bijektyvi funkcija: ką sudaro, kaip tai daroma, pavyzdžiai ir pratimai

Bijektyvi funkcija yra tokia, kuri atitinka dvigubą sąlygą, kad ji yra injekcinė ir priverstinė . Tai reiškia, kad visi domeno elementai turi vieną vaizdą kodomane, o savo ruožtu kodomainas yra lygus funkcijos diapazonui ( _Rf ).

Jis įvykdomas, vertinant domeno elementų ir kodomaino tarpusavio ryšį. Paprastas pavyzdys yra funkcija F: R → R, apibrėžta linija F (x) = x

Pastebėta, kad kiekvienai domeno arba išvykimo rinkinio vertei (abu terminai taikomi vienodai) kodomaine arba atvykimo rinkinyje yra vienas vaizdas. Be to, nėra kodomo elemento, kuris nėra vaizdas.

Tokiu būdu F: R → R, apibrėžta linija F (x) = x, yra bijective

Kaip veikia bijektiivinė funkcija?

Norint į tai atsakyti, būtina aiškiai suprasti sąvokų, susijusių su funkcija „Injekcija“ ir „ Superjektyvumas“, taip pat kriterijus, pagal kuriuos turi būti nustatytos funkcijos, siekiant jas pritaikyti prie reikalavimų.

Funkcijos injekcijos

Funkcija yra injekcinė, kai kiekvienas jo domeno elementas yra susijęs su vienu kodomo elemento elementu. Kodomino elementas gali būti tik vieno domeno elemento vaizdas, tokiu būdu negalima keisti priklausomo kintamojo vertės.

Kad apsvarstytumėte injekcinės funkcijos funkciją, turi būti įvykdyta:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Perteklinė funkcijos funkcija

Funkcija yra klasifikuojama kaip prielaida, jei kiekvienas jo kodomo elementas yra bent vieno domeno elemento vaizdas.

Jei norite, kad projektas būtų apgaulingas, turi būti įvykdyta:

Leiskite F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Tai yra algebrinis būdas nustatyti, kad visam „b“, kuris priklauso C _f, egzistuoja „a“, kuris priklauso _Df tokiai, kad „a“ vertinama funkcija yra lygi „b“.

Funkcijų kondicionavimas

Kartais tam tikroms sąlygoms gali būti taikoma ne bijective funkcija. Šios naujos sąlygos gali paversti ją bijective funkcija. Galioja visų tipų funkcijų modifikacijos ir kodomainai, kurių tikslas yra atitikti injekcinio ir per didelio aktyvumo savybes atitinkamame santykyje.

Pavyzdžiai: išspręstos pratybos

1 pratimas

Leiskite funkcijai F: R → R nustatyti liniją F (x) = 5x +1

A: [Visi tikrieji skaičiai]

Pastebėta, kad kiekvienai domeno vertei kodomaine yra vaizdas. Šis vaizdas yra unikalus, todėl F yra injekcinė funkcija . Taip pat pastebime, kad funkcijos kodomenas yra lygus jo rangui. Taigi įvykdoma per didelės veiklos sąlyga.

Tuo pat metu galime daryti išvadą, kad esame injekciniai ir surogatyvūs

F: R → R, apibrėžta linija F (x) = 5x +1 yra bijective funkcija.

Tai taikoma visoms linijinėms funkcijoms (funkcijos, kurių didžiausias kintamojo laipsnis yra vienas).

2 pratimas

Leiskite F funkcijai R: R nustatyti F (x) = 3x2 - 2

Rengiant horizontalią liniją pastebima, kad grafikas randamas daugiau nei vienu atveju. Dėl šios priežasties F funkcija nėra injekcinė, todėl ji nebebus jautri, kol ji bus apibrėžta R → R

Taip pat yra kodomaino reikšmių, kurios nėra jokio domeno elemento vaizdai. Dėl šios priežasties funkcija nėra prielaida, kuri nusipelno nustatyti ir atvykimo rinkinį.

Mes tęsiame savo funkciją ir funkcijos funkciją

F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]

Kai pastebima, kad naujasis domenas apima vertes nuo nulio iki teigiamos begalybės. Venkite pakartotinių verčių, turinčių įtakos injekciniam poveikiui.

Taip pat kodomainas buvo pakeistas, skaičiuojant nuo „-2“ iki teigiamos begalybės, pašalinant iš kodo reikšmes, kurios neatitiko jokio domeno elemento

Tokiu būdu galima užtikrinti, kad F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ], apibrėžtas F (x) = 3x2 - 2

Tai bijective

3 pratimas

Tegul funkcija F yra: R → R, apibrėžta F (x) = Sen (x)

Intervale [- ∞, + ∞ ] sinusinė funkcija keičia savo rezultatus tarp nulio ir vieno.

F funkcija neatitinka injekcijos ir sobreyectividad kriterijų, nes priklausomo kintamojo vertės kartojamos π intervalais. Be to, kodomaino terminai už intervalo [-1, 1] ribų nėra jokio domeno elemento vaizdai.

Nagrinėjant F (x) = Sen (x) funkcijos grafiką , mes stebime intervalus, kai kreivės elgesys atitinka bijectivity kriterijus. Pavyzdžiui, intervalas D _f = [ π / 2 , 3π / 2 ] domenui. Ir C _f = [-1, 1] kodomainui.

Kai funkcija skiriasi nuo 1 iki -1, neperžiūrint jokios priklausomos kintamojo vertės. Ir tuo pačiu metu kodomenas yra lygus vertei, kurią priėmė išraiška Sen (x)

Tokiu būdu funkcija F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1], apibrėžta F (x) = Sen (x). Tai bijective

4 pratimas

Pateikite būtinas sąlygas D _f ir C _f . Taigi išraiška

F (x) = -x2 yra bijective .

Rezultatų pasikartojimas stebimas, kai kintamasis yra priešingas:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domenas yra kondicionuojamas, apribojant jį dešinėje tikrosios linijos pusėje.

D _f = [0, + ∞ ]

Taip pat pastebima, kad šios funkcijos diapazonas yra intervalas [- ∞ , 0], kuris, veikdamas kaip kodomainas, atitinka pernelyg aktyvios veiklos sąlygas.

Taip galime daryti išvadą

F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0], apibrėžta F (x) = -x2 Tai bijective