Injekcinė funkcija: ką jie sudaro, kokie jie yra ir pavyzdžiai su išspręstomis pratybomis
Injekcinė funkcija yra visas domeno elementų santykis su vienu kodomo elemento elementu. Jie taip pat žinomi kaip „ vienas su vienu“ funkcija ( 1–1 ), jie yra funkcijų klasifikavimo dalis, atsižvelgiant į tai, kaip jų elementai yra susiję.
Kodomino elementas gali būti tik vieno domeno elemento vaizdas, tokiu būdu negalima keisti priklausomo kintamojo vertės.
Aiškus pavyzdys būtų grupuoti vyrus su darbu A grupėje ir B grupėje su visais lyderiais. F funkcija bus ta, kuri susieja kiekvieną darbuotoją su jo bosu. Jei kiekvienas darbuotojas yra susietas su kitokiu bosu per F, tada F bus injekcinė funkcija .
Kad apsvarstytumėte injekcinės funkcijos funkciją, turi būti įvykdyta:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Tai yra algebrinis būdas pasakyti visiems x 1, skiriasi nuo x 2, turime F (x 1 ) skirtingą nuo F (x 2 ).
Kokios yra injekcinės funkcijos?
Injekcija yra nuolatinių funkcijų savybė, nes jos užtikrina kiekvieno domeno elemento vaizdų paskirstymą, kuris yra esminis funkcijos tęstinumo aspektas.
Kai injekcinės funkcijos grafike brėžiama linija, lygiagreti X ašiai, tik viename taške turi būti paliesta tik grafikas, neatsižvelgiant į tai, kokio aukščio ar dydžio Y linija yra nubrėžta. Tai yra grafinis būdas išbandyti funkcijos injekciją.
Kitas būdas patikrinti, ar funkcija yra injekcinė, yra išvalyti nepriklausomą kintamąjį X pagal priklausomą kintamąjį Y. Tada turite patikrinti, ar šios naujos išraiškos domenas turi realius skaičius, tuo pačiu metu kiekvienai Y vertei Yra tik viena X vertė.
Įsakymo funkcijos ar santykiai, be kitų formų, pakluso F: D f → C f
Tai yra skaitoma F, kuri eina nuo D f iki C f
Kai F funkcija susijusi su domeno ir kodomainų rinkiniais. Taip pat žinomas kaip pradinis rinkinys ir atvykimo rinkinys.
Df domene yra leistinos nepriklausomo kintamojo vertės. Kodominą Cf sudaro visos vertės, prieinamos priklausomam kintamajam. Cf elementai, susiję su Df, yra žinomi kaip funkcijų diapazonas ( Rf ).
Funkcijų kondicionavimas
Kartais funkcija, kuri nėra injekcinė, gali priklausyti nuo tam tikrų sąlygų. Šios naujos sąlygos gali ją paversti injekcine funkcija. Galioja visų tipų funkcijų modifikacijos ir kodomainai, kurių tikslas yra atitikti injekcijos savybes atitinkamame santykyje.
Injekcinių funkcijų pavyzdžiai su išspręstomis pratybomis
1 pavyzdys
Leiskite funkcijai F: R → R nustatyti liniją F (x) = 2x - 3
A: [Visi tikrieji skaičiai]
Pastebėta, kad kiekvienai domeno vertei kodomaine yra vaizdas. Šis vaizdas yra unikalus, todėl F yra injekcinė funkcija. Tai taikoma visoms linijinėms funkcijoms (funkcijos, kurių didžiausias kintamojo laipsnis yra vienas).
2 pavyzdys
Leiskite F funkcijai R: R nustatyti F (x) = x2 +1
Rengiant horizontalią liniją pastebima, kad grafikas randamas daugiau nei vienu atveju. Dėl šios priežasties F funkcija nėra injekcinė tol, kol yra apibrėžta R → R
Toliau nurodome funkcijos funkciją:
F: R + U {0} → R
Dabar nepriklausomas kintamasis neatsižvelgia į neigiamas vertes, taip išvengiant pakartotinių rezultatų ir funkcija F: R + U {0} → R, apibrėžta F (x) = x2 + 1 yra injekcinė .
Kitas homologinis sprendimas būtų apriboti domeną iš kairės, ty apriboti funkciją tik atsižvelgiant į neigiamas ir nulines vertes.
Mes tęsiame funkciją
F: R- U {0} → R
Dabar nepriklausomas kintamasis neatsižvelgia į neigiamas reikšmes, todėl išvengiama pakartotinių rezultatų ir funkcija F: R- U {0} → R, apibrėžta F (x) = x2 + 1, yra injekcinis .
Trigonometrinės funkcijos turi panašų elgesį su bangomis, kur labai dažnai randama pakartotinių reikšmių priklausomame kintamajame. Konkrečiu kondicionavimu, remiantis ankstesnėmis žiniomis apie šias funkcijas, galime apriboti domeną, kad atitiktų injekcijos sąlygas.
3 pavyzdys
Tegul F funkcija yra: [- π / 2, π / 2 ] → R, apibrėžta F (x) = Cos (x)
Intervalu [- π / 2 → π / 2 ] kosino funkcija keičia savo rezultatus tarp nulio ir vieno.
Kaip parodyta grafike. Pradėkite nuo nulio x = - π / 2, tada pasiekite didžiausią nulį. Po x = 0 reikšmės pradeda kartoti, kol grįžta į nulį x = π / 2. Tokiu būdu žinoma, kad F (x) = Cos (x) nėra injekcinis intervalui [- π / 2, π / 2 ] .
Nagrinėjant F (x) = Cos (x) funkcijos grafiką, stebime intervalus, kai kreivės elgesys prisitaiko prie injekcinio kriterijaus. Pavyzdžiui, intervalas
[0, π ]
Kai funkcija skiriasi nuo 1 iki -1, neperžiūrint jokios priklausomos kintamojo vertės.
Tokiu būdu funkcija F: [0, π ] → R apibrėžta F (x) = Cos (x). Jis yra injekcinis
Yra netiesinių funkcijų, kuriose pateikiami panašūs atvejai. Racionalaus tipo išraiškoms, kai vardiklis turi bent vieną kintamąjį, yra apribojimų, kurie užkerta kelią santykių injekcijai.
4 pavyzdys
Leiskite F funkcijai R: R nustatyti F (x) = 10 / x
Funkcija apibrėžiama visiems tikriems skaičiams, išskyrus {0}, kuris turi neapibrėžtumą (negali būti padalintas iš nulio) .
Artėjant prie nulio kairėje, priklausomas kintamasis turi labai didelių neigiamų verčių, o iš karto po nulio priklausomo kintamojo reikšmės užima didelius teigiamus skaičius.
Šis sutrikimas sukelia F: R → R, apibrėžtą F (x) = 10 / x
Negalima švirkšti.
Kaip matyti iš ankstesnių pavyzdžių, vertybių neįtraukimas į domeną padeda „ištaisyti“ šias neapibrėžtis. Toliau išskiriame domeno nulį, paliekant išvykimo ir atvykimo rinkinius taip:
R - {0} → R
Kur R - {0} simbolizuoja realus, išskyrus rinkinį, kurio vienintelis elementas yra nulis.
Tokiu būdu F (x) = 10 / x apibrėžta frazė F: R - {0} → R yra injekcinė.
5 pavyzdys
Tegul F funkcija yra: [0, π ] → R, apibrėžta F (x) = Sen (x)
Intervalu [0, π ] sinuso funkcija keičia savo rezultatus tarp nulio ir vieno.
Kaip parodyta grafike. Pradėkite nuo nulio x = 0, tada pasiekite maksimumą x = π / 2. Po x = π / 2 reikšmės pradeda kartoti, kol grįžta į nulį x = π. Tokiu būdu žinoma, kad F (x) = Sen (x) nėra injekcinis intervalui [0, π ] .
Tiriant F (x) = Sen (x) funkcijos grafiką, stebime intervalus, kur kreivės elgesys prisitaiko prie injekcinio kriterijaus. Pavyzdžiui, intervalas [ π / 2 , 3π / 2 ]
Kai funkcija skiriasi nuo 1 iki -1, neperžiūrint jokios priklausomos kintamojo vertės.
Tokiu būdu funkcija F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, apibrėžta F (x) = Sen (x). Jis yra injekcinis
6 pavyzdys
Patikrinkite, ar funkcija F: [0, ∞] → R, apibrėžta F (x) = 3x2, yra injekcinė.
Šiuo atveju išraiškos sritis jau yra ribota. Taip pat pastebima, kad priklausomo kintamojo vertės šiame intervale kartojamos.
Todėl galima daryti išvadą, kad F: [0, ∞] → R, apibrėžtas F (x) = 3x2, yra injekcinis
7 pavyzdys
Nustatykite, kuri iš šių funkcijų yra
- Jis yra injekcinis. Susiję kodomino elementai yra unikalūs kiekvienai nepriklausomo kintamojo vertei.
- Jis nėra injekcinis. Yra kodomino elementų, susijusių su daugiau nei vienu pradinio rinkinio elementu.
- Jis yra injekcinis
- Jis nėra injekcinis
Pratimai, siūlomi klasės / namo
Patikrinkite, ar šios funkcijos yra injekcinės:
F: [0, ∞] → R, apibrėžtas F (x) = (x + 3) 2
F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, apibrėžta F (x) = Tan (x)
F: [- π , π ] → R, apibrėžtas F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R, apibrėžta linija F (x) = 7x + 2
