Kvadratiniai paveldėjimai: pavyzdžiai, taisyklė ir išspręstos pratybos

Kvadratinės sekos matematiniais terminais susideda iš skaičių sekų, kurios atitinka tam tikrą aritmetinę taisyklę. Įdomu žinoti šią taisyklę, kad nustatytumėte bet kokias sekos sąlygas.

Vienas iš būdų tai padaryti yra nustatyti dviejų skirtingų terminų skirtumą ir pamatyti, ar gauta vertė visada kartojama. Tokiu atveju sakoma, kad tai yra reguliarus paveldėjimas .

Bet jei tai nėra kartojama, galite pabandyti išnagrinėti skirtumų skirtumą ir pamatyti, ar ši vertė yra pastovi. Jei taip, tai yra kvadratinė seka .

Reguliarių paveldėjimų ir kvadratinių sekų pavyzdžiai

Šie pavyzdžiai padeda paaiškinti, kas buvo paaiškinta iki šiol:

Reguliaraus paveldėjimo pavyzdys

Tegul seka S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}

Ši seka, pažymėta S, yra begalinis skaičius, šiuo atveju sveikųjų skaičių.

Matyti, kad tai yra reguliarus paveldėjimas, nes kiekvienas terminas yra gaunamas pridedant 3 prie ankstesnio termino ar elemento:

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Kitaip tariant: ši seka yra įprasta, nes skirtumas tarp kito termino ir ankstesnio laikotarpio suteikia fiksuotą vertę. Šiame pavyzdyje ši vertė yra 3.

Reguliarios sekos, gaunamos pridedant fiksuotą sumą į ankstesnį terminą, taip pat vadinamos aritmetinėmis progresijomis. Ir skirtumas tarp nuolatinių terminų vadinamas priežastimi ir yra žymimas kaip R.

Nereguliaraus ir kvadratinio paveldėjimo pavyzdys

Žiūrėkite dabar šią seką:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}

Kai apskaičiuojami paskesni skirtumai, gaunamos šios vertės:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Jų skirtumai nėra pastovūs, todėl galima teigti, kad tai yra nereguliarus paveldėjimas.

Tačiau, jei svarstome skirtumų rinkinį, turime kitą seką, kuri bus pažymėta kaip S _dif :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ....}

Ši nauja seka yra reguliari seka, nes kiekvienas terminas gaunamas pridedant fiksuotą vertę R = 2 į ankstesnę. Štai kodėl galime patvirtinti, kad S yra kvadratinis paveldėjimas.

Bendroji taisyklė sukurti kvadratinį paveldėjimą

Yra bendra formulė kvadratinės sekos kūrimui:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C

Šioje formulėje T _n yra sekos padėties n terminas. A, B ir C yra fiksuotos vertės, o n kinta vienas po kito, ty 1, 2, 3, 4, ...

Ankstesnio pavyzdžio A sekoje S = 1, B = 1 ir C = 0. Iš to išplaukia, kad formulė, kuri generuoja visus terminus, yra: T _n = n2 + n

Tai yra:

T1 = 12 + 1 = 2

T2 = 22 + 2 = 6

T3 = 32 + 3 = 12

T5 = 52 + 5 = 30

T _n = n2 + n

Skirtumas tarp dviejų iš eilės einančių kvadratinės sekos terminų

T _{n + 1} - T _n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n + C]

Išraiškos tobulinimas per puikų produktą yra:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n2 - B ∙ n - C

Supaprastindami jį gausite:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Tai yra formulė, kuri suteikia skirtumų seką S _Dif, kurį galima parašyti taip:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Kur aiškiai yra kitas terminas 2 ∙ Kartais ankstesnis. Tai yra, skirtumų S diferencialo priežastis yra: R = 2 ∙ A.

Išspręstos kvadratinių paveldėjimų pratybos

1 pratimas

Tegul seka S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Nustatykite, ar:

i) Jis yra reguliarus arba ne

ii) Jis yra kvadratinis arba ne

iii) Tai buvo kvadratinė, skirtumų seka ir jų priežastis

Atsakymai

i) Apskaičiuokite skirtumą tarp kito termino ir ankstesnio:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Galime patvirtinti, kad seka S nėra reguliari, nes skirtumas tarp iš eilės sudarytų terminų nėra pastovus.

ii) Skirtumų skirtumai yra reguliarūs, nes skirtumas tarp jų terminų yra pastovi vertė 2. Todėl pradinė seka S yra kvadratinė.

iii) Mes jau nustatėme, kad S yra kvadratinė, skirtumų seka yra:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ...} ir jo santykis yra R = 2.

2 pratimas

Leiskite ankstesnės pavyzdžio seką S = {1, 3, 7, 13, 21, ......, kur buvo patikrinta, ar ji yra kvadratinė. Nustatykite:

i) Formulė, kuri apibrėžia bendrąjį terminą T _n.

ii) Patikrinkite trečiąjį ir penktąjį terminus.

iii) dešimtosios kadencijos vertė.

Atsakymai

i) Bendroji formulė T _n yra A ∙ n2 + B ∙ n + C. Tada lieka žinoti A, B ir C vertes.

Skirtumų skirtumai yra teisingi 2. Taip pat bet kokiai kvadratinei sekai santykis R yra 2 ∙ A, kaip parodyta ankstesniuose skirsniuose.

R = 2 ∙ A = 2, kuri leidžia mums daryti išvadą, kad A = 1.

Pirmoji skirtumų sekos seka S _Dif yra 2 ir turi atitikti A ∙ (2n + 1) + B, n = 1 ir A = 1, tai yra:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

išvalymas B jums: B = -1

Tada pirmasis S (n = 1) terminas yra 1, tai yra: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. Kaip jau žinome, kad A = 1 ir B = -1, pakeičiant yra:

1 = 1 ∙ 12 + (-1) ∙ 1 + C

Kliringo C gausite jo vertę: C = 1.

Apibendrinant:

A = 1, B = -1 ir C = 1

Tada n-oji kadencija bus T _n = n2 - n + 1

ii) Trečiasis terminas T ₃ = 32 - 3 + 1 = 7 ir patikrinamas. Penktasis T5 = 52 - 5 + 1 = 21, kuris taip pat yra patikrintas.

iii) dešimtasis terminas bus T10 = 102 - 10 + 1 = 91.

3 pratimas

Paveiksle pavaizduota penkių skaičių seka. Tinklelis yra ilgio vienetas.

i) Nustatykite figūrų ploto seką.

ii) Parodykite, kad tai yra kvadratinė seka.

iii) Suraskite 10 paveikslo plotą (nerodomas).

Atsakymai

i) S seka S, atitinkanti skaitmenų sekos plotą, yra:

S = {0, 2, 6, 12, 20, ., , , , }

ii) Paveldėjimas, atitinkantis nuoseklius S terminų skirtumus, yra:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ., , , , }

Kadangi skirtumas tarp nuoseklių terminų nėra pastovus, tada S nėra reguliari seka. Turime žinoti, ar tai yra kvadratinė, už kurią vėl nustatome skirtumų seką, gaunant:

{2, 2, 2, .......}

Kadangi visi sekos terminai kartojami, patvirtinama, kad S yra kvadratinė seka.

iii) S eilutė S _dif yra reguliari ir jos santykis R yra 2. Naudojant aukščiau nurodytą lygtį R = 2 ∙ A, ji lieka:

2 = 2 ∙ A, o tai reiškia, kad A = 1.

Antrasis skirtumų sekos S _Dif terminas yra 4, o antrasis - S _Dif

A ∙ (2n + 1) + B.

Antrasis terminas yra n = 2. Be to, jau buvo nustatyta, kad A = 1, todėl naudojant ankstesnę lygtį ir pakeičiant mes turime:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Kliringo B gavimas: B = -1.

Yra žinoma, kad antrasis S terminas yra 2, ir kad jis turi atitikti bendrosios sąvokos formulę n = 2:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T2 = 2

Aš turiu galvoje