Kas yra vektorius ir kokios yra jo charakteristikos?
Vektorius yra kiekis arba reiškinys, turintis dvi nepriklausomas savybes: dydį ir kryptį. Šis terminas taip pat reiškia tokio kiekio matematinį ar geometrinį vaizdą.
Natūralaus vektoriaus pavyzdžiai yra greitis, jėga, elektromagnetiniai laukai ir svoris. Suma arba reiškinys, kuris rodo tik dydį, be konkrečios krypties, vadinamas skaliniu.
Scalarų pavyzdžiai apima greitį, masę, elektrinį pasipriešinimą ir standžiojo disko talpą.
Vektoriai gali būti grafiškai vaizduojami dviem ar trimis matmenimis. Dydis rodomas kaip segmento ilgis. Kryptį rodo segmento orientacija ir rodyklė viename gale.
Pirmiau pateiktoje iliustracijoje parodyti trys vektoriai dvimatėse stačiakampėse koordinatėse (Dekarto plokštumoje) ir jų ekvivalentai poliarinėse koordinatėse.
Vektoriai fizikoje
Fizikoje, kai turite vektorių, turite atsižvelgti į du kiekius: jo kryptį ir dydį. Kiekiai, turintys tik vieną dydį, vadinami skalarais. Jei kryptis yra suteikta skaliniu mastu, sukuriamas vektorius.
Vizualiai vektoriai laikomi rodyklėmis, kurios yra tobula, nes rodyklė turi aiškią kryptį ir aiškų dydį (rodyklės ilgis).
Toliau pateiktame paveiksle rodyklė reiškia vektorių, prasidedantį nuo rodyklės (taip pat vadinama uodega), ir baigiasi gale.
Fizikoje dažniausiai vektorius žymi drąsus šriftas, nors jis taip pat gali būti pavaizduotas kaip raidė su rodykle.
Rodyklė reiškia, kad tai ne tik skaliarinė vertė, kurią atstovautų A, bet ir kažką su kryptimi.
Skirtumai tarp vektoriaus ir skalaro
Vertybės, kurios nėra vektoriai, yra skalarai. Pavyzdžiui, toks 500 obuolių kiekis yra skalaras, jis neturi adreso, tai tik dydis. Laikas taip pat yra skalaras, jis neturi jokios krypties.
Tačiau greitis yra vektorius, nes jis ne tik nurodo kelio dydį (greitį), bet ir nurodo kelio kryptį (ir kryptį).
Pavyzdžiui, greičio vektoriaus veikimo linija gali būti
būti 30 ° nuo horizontalios. Todėl žinome, kokia kryptimi objektas juda.
Tačiau tai vis dar nenurodo kelionės krypties, nesvarbu, ar ji nutolusi nuo ar artėja prie mūsų. Todėl taip pat nurodome kryptį, kuria vektorius veikia per rodyklę.
Jėga, pagreitis ir nuvažiuotas atstumas taip pat yra vektoriai. Pvz., Sakydamas, kad automobilis, perkeltas 10 metrų, nenurodo, kokia kryptimi jis judėjo. Norint visiškai apibrėžti judėjimą, taip pat būtina nurodyti judėjimo kryptį ir kryptį.
Stiprumas taip pat yra vektorius, nes jei jūs patraukiate objektą į save, jis artėja prie jūsų ir, jei stumiate objektą nuo jūsų. Taigi jėga turi kryptį ir prasmę, todėl ji yra vektorius.
Pavyzdys
Kaip vektoriaus pateiktos informacijos pavyzdžiai, turime:
Ieškokite aukso maišelio
Tarkime, kad mokytojas pasakys: „Aukso maišelis yra klasėje, kad jį surastumėte, perkelkite 20 metrų.“ Šis pareiškimas tikrai jus domina, tačiau deklaracijoje nėra pakankamai informacijos, kad rastumėte aukso maišelį.
Nepavyko išsamiai aprašyti perkėlimo, reikalingo auksiniam maišui surasti. Kita vertus, tarkime, kad jūsų mokytojas jums pasakys: „Auksinis krepšys yra už klasės ribų, kad būtų galima pereiti nuo klasės klasės durų 20 metrų 30 ° į vakarus nuo šiaurės.“
Šiuo pareiškimu pateikiamas išsamus perkėlimo vektoriaus aprašymas, kuriame išvardijami dydžiai (20 m) ir kryptis (30 ° į vakarus nuo šiaurės), atsižvelgiant į atskaitos arba išvykimo padėtį (klasės durų centras). ).
Vektorių kiekiai nėra išsamiai aprašyti, nebent nurodyti tiek dydžiai, tiek kryptys.
Automobilio poslinkis
Kai važiuojame automobilyje, naudojame skirtingus vektorius. Šie vektoriai pasirodo kiekvieną kartą keisdami greitį.
Kai paspartiname nuvažiuoti kitą automobilį, pridedame krypties ir greičio kintamuosius, kurie sudaro naują vektorių.
Kita vertus, kai norime sumažinti greitį, mes atimame vektorius, atitinkančius minėtą lėtėjimą.
Kitaip tariant, keičiant greitį nekeisdami, keičiame vektoriaus, atsirandančio iš automobilio judėjimo, reikšmę.
Atidarykite duris
Kai atidarome duris, naudojame kelis vektorius. Pirma, mes privalome tam tikra kryptimi spausdinti jėgą, kad pasuktume durų rankenėlę, tada privalome stumti duris tam tikra kryptimi, spausdindami jėgą.
Šios jėgos ir krypties vertės atitinka vektorius, naudojamus atidaryti duris. Durų uždarymo procesas sukurs naują vektorių, kuriame jo vertė bus neigiama, palyginti su tuo, kas buvo pradėta atidaryti.
Perkelkite langelį
Kai norime stumti labai sunkų dėžutę, privalome turėti jėgų savo šoniniame paviršiuje. Ši jėga turi būti daroma viena kryptimi, kad langelis galėtų judėti.
Tokiu atveju vektorius atsiras dėl jėgos ir krypties derinio, skirto langui perkelti.
Jei jėga nenaudojama stumti dėžę, bet pakelti ją vertikaliai, atsiras naujas vektorius.
Šį vektorių sudarys vertikali ašis, ant kurios dėžutė yra pakelta, ir jėga, kuria ji pakeliama.
Perkelkite šachmatų plytelę
Kaip ir ankstesnis pavyzdys, šachmatų plytelės gali būti perkeltos ant stalo paviršiaus - tam tikra kryptimi ir taikant tam tikrą jėgą - pakeisti savo padėtį lentoje, generuojant vektorių.
Jis taip pat gali būti pakeltas iš lentos, sukuriant naują vektorių vertikalia kryptimi.
Paspauskite mygtuką
Botó bus paspaudžiama tik viena kryptimi, kurią suteikia ta pati sistema, kurioje yra mygtukas.
Norint paspausti šį mygtuką, pirštu reikia taikyti jėgą. Iš šio judėjimo pratęsimo atsiras vektorius.
Žaisti biliardą
Biliardo rutulio paspaudimas su mediniu atspalviu iš karto sukelia vektorių, nes jis turi dviejų dydžių poveikį: jėgą ir kryptį.
Biliardo rutuliui bus taikoma jėga, kad ją būtų galima perkelti į tam tikrą kryptį. Biliardo rutulys ant stalo turės anksčiau nustatytą prasmę, kuri priklausys nuo žaidėjo sprendimo.
Žaislinis automobilis
Kai vaikas paima savo žaislinį automobilį ir traukia jį ant lyno, arba tiesiog manipuliuoja jį rankomis, jis generuos daug vektorių.
Kiekvieną kartą, kai vaikas keičia greitį arba kryptį, kuria jis perkelia automobilį, jis sukurs naują vektorių.
Šiuo atveju vektoriaus kintamieji būtų sudaryti iš energijos, kurią vaikas taiko automobiliui, ir krypties, kuria ji nori perkelti ją.
Vektorių atstovavimas
Vektorių kiekius dažnai vaizduoja mastelio vektorinės diagramos.
Vektorinės diagramos vaizduoja vektorių, naudodamos rodyklę, nukreiptą į skalę tam tikra kryptimi. Tinkama vektorinė diagrama turi turėti keletą savybių:
- Skalė aiškiai nurodyta.
- Vektorinė rodyklė yra traukiama (su rodykle) tam tikra kryptimi. Vektorinė rodyklė turi galvą ir uodegą.
- Vektoriaus dydis ir kryptis yra aiškiai pažymėtos.
Vektoriaus adresas
Vektoriai gali būti nukreipti į rytus, vakarus, pietus ir šiaurę. Tačiau kai kurie vektoriai nukreipiami į šiaurės rytus (45 ° kampu). Todėl akivaizdu, kad reikia nustatyti vektoriaus, kuris nepriklauso nuo šiaurės, pietų, rytų ar vakarų, kryptį.
Bet kokio vektoriaus kryptį galima apibūdinti įvairiais būdais, tačiau tik du iš jų bus paaiškinti toliau.
1-vektoriaus kryptis dažnai išreiškiama vektoriaus sukimosi kampu aplink jo „uodegą“ į rytus, vakarus, šiaurę ar pietus.
Pavyzdžiui, galima teigti, kad vektorius yra 40 ° į šiaurę nuo vakarų (tai reiškia, kad į vakarus nukreiptas vektorius buvo pasuktas 40 ° į šiaurę) arba kad jo kryptis yra 65 °. į rytus nuo pietų (tai reiškia, kad į pietus nukreiptas vektorius sukasi 65 ° į rytus).
2-vektoriaus kryptis dažnai išreiškiama kaip apsisukimo kampas vektoriaus prieš laikrodžio rodyklę. Naudojant šią konvenciją, vektorius, turintis 30 ° kryptį, yra vektorius, pasuktas 30 ° prieš laikrodžio rodyklę rytui.
Vektorius, turintis 160 ° kryptį, yra vektorius, pasuktas 160 ° kampu prieš laikrodžio rodyklę į rytus. Vektorius, turintis 270 ° kryptį, yra vektorius, pasuktas 270 ° prieš laikrodžio rodyklę rytui.
Vektoriaus dydis
Skaičiuojamos vektorinės diagramos vektoriaus dydis yra rodomas rodyklės ilgiu. Rodyklė traukiama tiksliai pagal pasirinktą skalę.
Pavyzdžiui, jei norite piešti vektorių, kurio dydis yra 20 metrų, galite pasirinkti kaip skalę 1 cm = 5 metrai ir piešti 4 cm ilgio rodyklę.
Naudojant tą pačią skalę (1 cm = 5 metrai), 15 metrų atstumo vektorius vaizduoja 3 cm ilgio vektoriaus rodyklė.
Tokiu pat būdu, 25 metrų poslinkio vektorius yra 5 cm ilgio rodyklė. Galiausiai, 18 metrų atstumo vektorius yra 3, 6 cm ilgio rodyklė.
Kitos vektorių charakteristikos
Lygybė : sakoma, kad du vektoriai yra lygūs, jei jie turi tokį pat mastą ir kryptį. Taip pat jie bus lygūs, jei jų koordinatės yra lygios.
Opozicija : du vektoriai yra priešingi, jei jie turi tą patį dydį, bet priešinga kryptimi.
Paralelės : du vektoriai yra lygiagrečiai, jei jie turi tą pačią kryptį, bet nebūtinai tokio paties dydžio, arba priešparaleliniai, jei jie turi priešingą kryptį, bet nebūtinai tokio paties dydžio.
Vieneto vektorius: vieneto vektorius yra bet kuris vektorius, kurio ilgis yra vienas.
Vektorius nulis : nulis yra vektorius, kurio ilgis yra nulis. Skirtingai nuo bet kurio kito vektoriaus, jis turi savavališką arba neapibrėžtą kryptį ir negali būti normalizuotas
