Homothety: savybės, tipai ir pavyzdžiai

Homotetija yra geometrinis pokytis plokštumoje, kur iš fiksuoto taško, vadinamo centru (O), atstumai padauginami iš bendro veiksnio. Tokiu būdu kiekvienas taškas P atitinka kitą transformacijos tašką P ', ir jie yra suderinti su tašku O.

Tada homotetija yra dviejų geometrinių figūrų atitiktis, kur transformuoti taškai vadinami homotetiniais, ir jie yra suderinti su fiksuotu tašku ir segmentais, lygiagrečiais vienas kitam.

Homotetija

Homotetija yra transformacija, neturinti suderinamo įvaizdžio, nes iš skaičiaus bus gautas vienas ar daugiau didesnio ar mažesnio skaičiaus, nei pirminis skaičius; tai yra, kad homotetija transformuoja daugiakampį į kitą panašų.

Kad homotetija būtų įvykdyta, jie turi atitikti tašką ir tiesiai tiesiai, kad homologinių taškų poros būtų suderintos su trečiuoju fiksuotu tašku, kuris yra homothety centras.

Lygiai taip pat turi būti lygiagrečios linijų poros. Tokių segmentų santykis yra konstanta, vadinama homotetiniu santykiu (k); tokiu būdu, kad homothety galėtų būti apibrėžiamas kaip:

Norėdami padaryti tokio tipo transformaciją, mes pradedame pasirinkti savavališką tašką, kuris bus homotetijos centras.

Nuo to momento kiekvienos transformuojamo figūros viršūnės yra sudarytos iš linijos segmentų. Skalę, kuria sukuriamas naujos figūros atkūrimas, sudaro homotetijos (k) santykis.

Savybės

Viena iš pagrindinių homothety savybių yra ta, kad dėl homotetikos (k) visi homotetiniai skaičiai yra panašūs. Tarp kitų neįvykdytų savybių yra šios:

- Homotetijos centras (O) yra vienintelis dvigubas taškas ir tai tampa pati; tai yra, ji nesikeičia.

- Linijos, einančios per centrą, transformuojasi (jos yra dvigubos), tačiau taškai, kurie jį sudaro, nėra dvigubi.

- linijos, kurios nepraeina per centrą, paverčiamos lygiagrečiomis linijomis; tokiu būdu homotetijos kampai lieka tie patys.

- Segmento vaizdas iš centrinio O homotetijos ir santykio k yra segmentas, lygiagrečiai su juo ir jo k ilgis yra k kartus didesnis. Pavyzdžiui, kaip matyti iš sekančio paveikslėlio, segmentas AB pagal homotetinį rezultatą sukurs kitą segmentą A'B ', todėl AB bus lygiagreti A'B' ir k bus:

- Homotetiniai kampai yra vienodi; tai yra, jie turi tą pačią priemonę. Todėl kampo vaizdas yra kampas, turintis tą pačią amplitudę.

Kita vertus, homothety skiriasi priklausomai nuo jo santykio (k) vertės ir gali pasireikšti šie atvejai:

- Jei konstanta k = 1, visi taškai yra fiksuoti, nes jie transformuojasi. Taigi homotetinis paveikslas sutampa su originalu ir transformacija vadinama tapatybės funkcija.

- Jei k ≠ 1, vienintelis fiksuotas taškas bus homothety centras (O).

- Jei k = -1, homothety tampa centrine simetrija (C); tai reiškia, kad sukimas aplink C bus 180o kampu.

- Jei k> 1, transformuoto skaičiaus dydis bus didesnis už originalo dydį.

- Jei 0 <k <1, transformuoto skaičiaus dydis bus mažesnis už originalo dydį.

- Jei -1 <k <0, transformuoto skaičiaus dydis bus mažesnis ir bus pasuktas originalo atžvilgiu.

- Jei k <-1, transformuoto skaičiaus dydis bus didesnis ir pasukamas originalo atžvilgiu.

Tipai

Homotetija taip pat gali būti skirstoma į dvi rūšis, priklausomai nuo jos santykio (k) vertės:

Tiesioginė homotetija

Taip atsitinka, jei konstanta k> 0; tai yra, homotetiniai taškai yra toje pačioje pusėje centro atžvilgiu:

Proporcingumo veiksnys arba panašumo tarp tiesioginių homotetinių rodiklių santykis visada bus teigiamas.

Atvirkštinis homotetinis

Taip atsitinka, jei konstanta k <0; tai yra, pradiniai taškai ir jų homotetiniai yra priešingose pusėse, palyginti su homotetijos centru, bet suderinti su juo. Centras bus tarp dviejų skaičių:

Proporcingumo faktorius ar panašumo santykis tarp homotetinių atvirkštinių skaičių visada bus neigiamas.

Sudėtis

Kai kelis judesius įvyksta iš eilės, kol gaunamas skaičius, lygus originalui, vyksta judesių sudėtis. Kelių judėjimų sudėtis taip pat yra judėjimas.

Dviejų homotekijų sudėtis lemia naują homotekiją; tai yra, mes turime homotetinį produktą, kuriame centras bus suderintas su dviejų originalių transformacijų centru, o santykis (k) yra dviejų priežasčių rezultatas.

Taigi dviejų homotetijų H1 (O1, k1) ir H2 (O2, k2) sudėtyje jų santykių padauginimas: k ₁ x k ₂ = 1 sukels homotetinį santykį k ₃ = k ₁ x k ₂ Šio naujo homothety (O ₃ ) centras bus išdėstytas ant linijos O ₁ O ₂ .

Homotetija atitinka vienodo ir negrįžtamo pokyčio; jei bus naudojamos dvi homotheces, turinčios tą patį centrą ir santykį, bet su kitu ženklu, bus gautas originalus skaičius.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Taikykite homotetą tam tikram centriniam daugiakampiui (O), kuris yra 5 cm nuo A taško ir kurio santykis yra k = 0, 7.

Sprendimas

Bet kuris taškas yra pasirinktas kaip homotetijos centras, ir iš šio spindulio braižomi paveikslo viršūnės:

Atstumas nuo centro (O) iki A taško yra OA = 5; su tuo jūs galite nustatyti vieno iš homotetinių taškų (OA) atstumą, žinodami, kad k = 0, 7:

OA '= kx OA.

OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.

Procesą galima atlikti kiekvienam viršūnės taškui, taip pat galite piešti homotetinį poligoną, prisimindami, kad dviem daugiakampiais yra lygiagrečios pusės: