Binominis teorinis elementas: demonstravimas ir pavyzdžiai

Binominė teorija yra lygtis, kuri mums nurodo, kaip sukurti tam tikro natūralaus skaičiaus n formos formos (a + b) n išraišką. Binominis yra ne daugiau kaip dviejų elementų, pvz., (A + b), suma. Tai taip pat leidžia mums žinoti akbn-k suteiktą terminą, koks yra su tuo susijęs koeficientas.

Ši teorija paprastai priskiriama anglų išradėjui, fizikui ir matematikui Sirui Isaakui Newtonui; Tačiau buvo rasta keletas įrašų, rodančių, kad Artimuosiuose Rytuose jau egzistavo jau maždaug 1000 metų.

Kombinatoriniai numeriai

Binominė teorija matematiškai pasakoja:

Šioje frazėje a ir b yra tikri skaičiai ir n yra natūralus skaičius.

Prieš parodydami demonstraciją, pamatysime kai kurias būtinas sąvokas.

Kombinatorinis skaičius arba n iš k kombinacijos išreiškiamos taip:

Ši forma išreiškia vertę, kiek subkategorijų su k elementais galima pasirinkti iš n elementų rinkinio. Jo algebrinę išraišką pateikia:

Pažiūrėkime pavyzdį: Tarkime, kad mes turime septynių rutulių grupę, iš kurių du yra raudoni ir kiti - mėlyni.

Mes norime žinoti, kiek būdų juos užsisakyti iš eilės. Vienas iš būdų galėtų būti dvi raudonos spalvos į pirmąją ir antrąją pozicijas, o likę rutuliai likę likusioje padėtyje.

Panašiai kaip ir ankstesnėje byloje, galėjome suteikti raudonuosius rutulius atitinkamai pirmąją ir paskutinę poziciją ir užimti kitus su mėlynais kamuoliais.

Dabar efektyvus būdas suskaičiuoti, kiek būdų galime užsisakyti kamuoliukus iš eilės, yra kombinatoriniai numeriai. Kiekvieną poziciją matome kaip šių rinkinių elementą:

Toliau reikia pasirinkti tik dviejų elementų pogrupį, kuriame kiekvienas iš šių elementų atspindi raudonųjų rutulių užimamą poziciją. Šį pasirinkimą galime padaryti pagal santykius, kuriuos pateikė:

Tokiu būdu mes turime 21 būdą, kaip surūšiuoti tokius kamuolius.

Bendra šio pavyzdžio idėja bus labai naudinga demonstruojant binominę teoremą. Pažvelkime į konkretų atvejį: jei n = 4, turime (a + b) 4, kuri yra ne daugiau kaip:

Kurdami šį produktą, mes turime terminų sumą, gautą padauginus kiekvieno iš keturių veiksnių elementą (a + b). Taigi turėsime terminus, kurie bus tokios formos:

Jei norime gauti a4 formos terminą, pakanka dauginti taip:

Atkreipkite dėmesį, kad yra tik vienas būdas gauti šį elementą; Bet kas atsitiks, jei dabar ieškome formos a2b2? Kadangi „a“ ir „b“ yra tikri skaičiai, todėl komutacinė teisė galioja, turime gauti būdą, kaip gauti šį terminą, kad daugintis su nariais, kaip nurodyta rodyklėse.

Visų šių operacijų atlikimas paprastai yra šiek tiek varginantis, bet jei matome terminą „a“ kaip derinį, kuriame norime žinoti, kiek būdų galime pasirinkti du „a“ iš keturių veiksnių rinkinio, galime naudoti ankstesnio pavyzdžio idėją. Taigi, mes turime:

Taigi, mes žinome, kad galutiniame išraiška (a + b) 4 turėsime tiksliai 6a2b2. Naudodami tą pačią idėją kitiems elementams, turite:

Tada pridedame anksčiau gautas išraiškas ir turime:

Tai yra oficialus pavyzdys, kai „n“ yra bet koks natūralus skaičius.

Demonstravimas

Atkreipkite dėmesį, kad terminai, kurie lieka kuriant (a + b) n, yra formos akbn-k, kur k = 0, 1, ..., n. Naudojant ankstesnio pavyzdžio idėją, mes galime pasirinkti „k“ kintamuosius «a» veiksnių „n“ veiksnius:

Pasirinkdami tokiu būdu, mes automatiškai pasirenkame nk kintamuosius «b». Iš to matyti, kad:

Pavyzdžiai

Atsižvelgiant į (a + b) 5, kokia būtų jos plėtra?

Pagal binominę teoriją turime:

Binominė teorija yra labai naudinga, jei turime išraišką, kurioje norime žinoti, koks yra konkretaus termino koeficientas, neatlikdamas visiško vystymosi. Pavyzdžiui, mes galime imtis šių inkognito: kas yra x7y9 koeficientas, kuriant (x + y) 16?

Pagal binominę teoriją mes turime, kad koeficientas yra:

Kitas pavyzdys būtų toks: koks yra koeficientas x5y8 kuriant (3x-7y) 13?

Pirmiausia perrašome išraišką patogiu būdu; tai yra:

Tada, naudojant binominę teoremą, turime, kad norimas koeficientas yra tada, kai turime k = 5

Kitas šio teoremo panaudojimo pavyzdys yra tam tikrų bendrų tapatybių, pvz., Paminėtų toliau, demonstravimas.

Tapatybė 1

Jei „n“ yra natūralus numeris, turime:

Demonstravimui mes naudojame binominę teoremą, kur tiek „a“, tiek „b“ užima 1 vertę. Tada mes turime:

Tokiu būdu mes įrodėme pirmąją tapatybę.

Tapatybė 2

Jei „n“ yra natūralus skaičius, tada

Pagal binominę teoriją turime:

Kitas demonstravimas

Mes galime pateikti kitokį įrodymą dėl binominės teoremos naudojant indukcinį metodą ir pasalinę tapatybę, kuri mums sako, kad jei „n“ ir „k“ yra teigiami sveikieji skaičiai, atitinkantys n ≥ k, tada:

Demonstravimas indukcijos būdu

Pirmiausia pažiūrėkime, kad indukcinė bazė yra įvykdyta. Jei n = 1, turime:

Efektyviai matome, kad jis įvykdytas. Dabar leiskite n = j, kad jis būtų įvykdytas:

Norime matyti, kad n = j + 1 įvykdoma, kad:

Taigi, turime:

Pagal hipotezę žinome, kad:

Tada naudodami platinimo turtą:

Vėliau, rengdami kiekvieną iš jų, mes turime:

Dabar, jei mes grupuojame patogiai, turime:

Naudojant pascal tapatybę, turime:

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad:

Todėl matome, kad binominė teorema yra įvykdyta kiekvienam „n“, priklausančiam natūraliam skaičiui, ir su tuo bandymas baigiasi.

Smalsumas

Kombinatorinis skaičius (nk) taip pat vadinamas binominiu koeficientu, nes būtent koeficientas atsiranda binominio (a + b) n vystyme.

Isaacas Newtonas apibendrino šią teoriją, kai eksponentas yra tikrasis skaičius; Ši teorija yra žinoma kaip Newtono binominė teorema.

Jau senovėje šis rezultatas buvo žinomas konkrečiu atveju, kai n = 2. Šis atvejis paminėtas Euklido elementuose .