Bayes teorema: paaiškinimas, programos, pratimai

„ Bayes“ teorema - tai procedūra, leidžianti išreikšti atsitiktinio įvykio A, nurodyto B, sąlyginę tikimybę, atsižvelgiant į įvykio B tikimybės pasiskirstymą A ir tik A. tikimybės pasiskirstymą.

Ši teorema yra labai naudinga, nes jos dėka galime susieti tikimybę, kad įvykis A, žinant, kad B įvyko, su tikimybe, kad atsiras priešingas įvykis, tai yra, kad B atsiranda duodamas A.

„Bayes“ teorema buvo aukso pasiūlymas, kurį atliko aštuonioliktojo amžiaus anglų teologas, kuris taip pat buvo matematikas. Jis buvo kelių teologijos darbų autorius, tačiau šiuo metu yra žinomas dėl kelių matematinių traktatų, tarp kurių pirmiau minėtas Bayes teorema išsiskiria kaip pagrindinis rezultatas.

„Bayes“ šią teoriją nagrinėjo 1763 m. Paskelbtame dokumente „Essee link problemos doktrinos problemos“, kuriame buvo sukurti dideli darbai, siekiant išspręsti galimybių doktrinos problemą. Tyrimai su paraiškomis įvairiose žinių srityse.

Paaiškinimas

Pirma, norint geriau suprasti šią teoriją, reikalingos kai kurios pagrindinės tikimybės teorijos sąvokos, ypač dauginamoji teorema sąlyginei tikimybei, kurioje teigiama, kad

Dėl E ir A savavališkų įvykių pavyzdžio erdvėje S.

Ir pertvarų apibrėžimas, kuris mums sako, kad jei mes turime A, A, ₂, ..., A _n įvykių pavyzdžio erdvėje S, jie sudarys S skaidinį, jei A yra tarpusavyje nesuderinami ir jų sąjunga yra S.

Turėdami tai, tegul B yra kitas įvykis. Tada galime pamatyti B kaip

Tais atvejais, kai A _i susikirtęs su B yra tarpusavyje nesuderinami įvykiai.

Ir todėl,

Tada, taikant daugybos teoriją

Kita vertus, sąlyginė Ai tikimybė, pateikta B, yra apibrėžta

Tinkamai mes turime pakeisti bet kurį i

„Bayes“ teoremos taikymas

Dėl to mokslinių tyrimų grupės ir įvairios korporacijos sugebėjo tobulinti žiniomis pagrįstas sistemas.

Pavyzdžiui, tiriant ligas, „Bayes“ teorema gali padėti išsiaiškinti tikimybę, kad liga bus aptikta žmonių, turinčių tam tikrą charakteristiką, grupėje, atsižvelgiant į duomenis apie pasaulinius ligos rodiklius ir minėtų savybių viršenybę. žmonių, sveikų ir sergančių.

Kita vertus, aukštų technologijų pasaulyje ji padarė įtaką didelėms įmonėms, kurios dėl šio rezultato sukūrė programinę įrangą „Remiantis žiniomis“.

Kaip kasdienį pavyzdį turime „Microsoft Office“ padėjėją. „Bayes“ teorema padeda programinei įrangai įvertinti problemas, kurias vartotojas pristato ir nustato, kokių patarimų teikti, ir tokiu būdu sugebėti pasiūlyti geresnę paslaugą pagal vartotojo įpročius.

Pažymėtina, kad ši formulė buvo ignoruojama iki šiol, daugiausia dėl to, kad šis rezultatas buvo sukurtas prieš 200 metų. Tačiau mūsų laikais dėka didžiųjų technologijų pažangos mokslininkai pasiekė būdų, kaip pasiekti šį rezultatą.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Korinio ryšio įmonė turi dvi A ir B mašinas. 54% pagamintų mobiliųjų telefonų gaminami A mašina, o likusieji - mašina B. Ne visi pagaminti mobilieji telefonai yra geros būklės.

Defektų mobiliųjų telefonų, kuriuos sukūrė A, dalis yra 0, 2 ir B yra 0, 5. Kokia tikimybė, kad minėtos gamyklos mobilusis telefonas yra sugedęs? Kokia yra tikimybė, kad, žinodama, kad mobilusis telefonas yra sugedęs, iš A mašinos?

Sprendimas

Čia jūs turite eksperimentą, kuris atliekamas dviem dalimis; pirmoje dalyje įvykiai įvyksta:

A: mobilusis telefonas, pagamintas A įrenginiu.

B: mobilusis telefonas, kurį sukūrė mašina B.

Kadangi mašina A gamina 54% mobiliųjų telefonų, o likusią dalį gamina mašina B, mašina B gamina 46% mobiliųjų telefonų. Pateikiami šių įvykių tikimybės:

P (A) = 0, 54.

P (B) = 0, 46.

Antrosios eksperimento dalies įvykiai yra:

D: pažeistas mobilusis telefonas

E: neužtikrintas mobilusis telefonas.

Kaip teigiama pareiškime, šių įvykių tikimybės priklauso nuo pirmoje dalyje gauto rezultato:

P (D | A) = 0, 2.

P (D | B) = 0, 5.

Naudodamiesi šiomis reikšmėmis taip pat galite nustatyti šių įvykių papildymo tikimybes, ty:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0, 5.

Dabar įvykis D gali būti parašytas taip:

Naudojant dauginamąją teoriją sąlyginei tikimybei:

Su kuriuo atsakoma į pirmąjį klausimą.

Dabar mums reikia apskaičiuoti P (A | D), kuriam taikomas „Bayes“ teorema:

„Bayes“ teorijos dėka galima teigti, kad tikimybė, kad mobilųjį telefoną pagamins mašina A, žinodama, kad mobilusis telefonas yra sugedęs, yra 0, 319.

2 pratimas

Trys dėžutės yra baltos ir juodos spalvos. Kiekvienos jų sudėtis yra tokia: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Vienas iš dėžių yra pasirenkamas atsitiktinai ir iš jo išgaunamas atsitiktinis kamuolys, kuris pasirodo baltas. Kuris langelis greičiausiai buvo pasirinktas?

Sprendimas

Naudodami U1, U2 ir U3, mes taip pat atstovausime pasirinktą langelį.

Šie įvykiai sudaro S skaidinį ir patikrinama, kad P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, nes langelio pasirinkimas yra atsitiktinis.

Jei B = {išgautas kamuolys yra baltas}, turėsime P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Mes norime gauti tikimybę, kad kamuolys buvo paimtas iš langelio Ui, žinant, kad kamuolys buvo baltas, ty P (Ui | B), ir pažiūrėkite, kuri iš trijų vertybių buvo didžiausia, kad žinotų, kuris dėžutė buvo labiau tikėtina, kad išgautas baltas kamuolys.

„Bayes“ teoremos taikymas pirmajam langeliui: