Diskretinė matematika: ką jie tarnauja, rinkinių teorija

Diskreti matematika atitinka matematikos sritį, atsakingą už natūralių skaičių rinkinio tyrimą; tai yra baigtinių ir begalinių skaičiuojamų skaičių rinkinys, kuriame elementai gali būti skaičiuojami atskirai, po vieną.

Šie rinkiniai yra žinomi kaip atskiri rinkiniai; Šių rinkinių pavyzdys yra sveiki skaičiai, grafikai ar loginės išraiškos, ir jie taikomi įvairiose mokslo srityse, daugiausia skaičiuojant ar skaičiuojant.

Aprašymas

Diskrečiuose matematikos procesuose galima skaičiuoti, remiantis visais skaičiais. Tai reiškia, kad dešimtainiai skaičiai nenaudojami, todėl apytikslis ar ribos nenaudojamos, kaip ir kitose srityse. Pavyzdžiui, vienas nežinomas gali būti lygus 5 arba 6, bet niekada 4.99 arba 5.9.

Kita vertus, grafiniame vaizde kintamieji bus diskretiški ir pateikiami iš riboto taškų rinkinio, kuris skaičiuojamas vienas po kito, kaip matyti paveikslėlyje:

Diskrečiai matematikai gimsta būtinybė gauti tikslią studiją, kurią galima derinti ir išbandyti, pritaikyti ją skirtingose ​​srityse.

Kas yra diskretiškos matematikos naudojimas?

Diskreti matematika naudojama daugelyje sričių. Tarp pagrindinių tokių yra:

Kombinatorinis

Išnagrinėkite baigtinius rinkinius, kuriuose elementai gali būti užsakomi arba sujungti ir suskaičiuoti.

Diskretinio paskirstymo teorija

Studijų įvykiai, atsirandantys erdvėse, kuriose pavyzdžiai gali būti skaičiuojami, kai nuolatiniai paskirstymai naudojami diskretiems paskirstymams apytiksliai arba priešingai.

Informacijos teorija

Tai reiškia informacijos kodavimą, naudojamą duomenų, pavyzdžiui, analoginių signalų, projektavimui ir perdavimui bei saugojimui.

IT

Diskrečios matematikos problemos sprendžiamos naudojant algoritmus, taip pat ištirti, kas gali būti apskaičiuota, ir laiko, reikalingo tai padaryti (sudėtingumas).

Diskrečios matematikos svarba šioje srityje pastaraisiais dešimtmečiais išaugo, ypač programavimo kalbų ir programinės įrangos kūrimui.

Kriptografija

Jis grindžiamas diskretiškomis matematikomis, siekiant sukurti saugumo struktūras arba šifravimo metodus. Šios programos pavyzdys yra slaptažodžiai, siunčiant atskirai bitus, kuriuose yra informacijos.

Tyrimo metu sveikieji skaičiai ir pirminiai skaičiai (skaičiaus teorija) gali sukurti arba sunaikinti šiuos saugumo metodus.

Logika

Naudojamos diskrečios struktūros, kurios paprastai sudaro baigtinį rinkinį, norint įrodyti teorijas arba, pavyzdžiui, patikrinti programinę įrangą.

Grafikos teorija

Jis leidžia išspręsti logines problemas, naudojant mazgus ir linijas, kurios sudaro grafiko tipą, kaip parodyta šiame paveikslėlyje:

Tai sritis, glaudžiai susijusi su diskretiška matematika, nes algebrinės išraiškos yra atskiros. Taip sukuriamos elektroninės grandinės, procesoriai, programavimas (Būlio algebra) ir duomenų bazės (reliacinė algebra).

Geometrija

Išnagrinėti geometrinių objektų, pvz., Plokštumos dangos, kombinatorines savybes. Kita vertus, skaičiavimo geometrija leidžia sukurti geometrines problemas taikant algoritmus.

Komplektų teorija

Diskrečiuose matematikos rinkiniuose (baigtinis ir begalinis skaičiavimas) yra pagrindinis studijų tikslas. Komplektų teoriją paskelbė George Cantor, kuris parodė, kad visi begaliniai rinkiniai turi tokį patį dydį.

Rinkinys - tai elementų (skaičių, daiktų, gyvūnų ir žmonių), kurie yra gerai apibrėžti, grupė; tai yra, yra ryšys, pagal kurį kiekvienas elementas priklauso rinkiniui ir yra išreikštas, pavyzdžiui, į ∈ A.

Matematikoje yra skirtingų rinkinių, kurie grupuoja tam tikrus skaičius pagal jų charakteristikas. Taigi, pavyzdžiui, turite:

- natūralių skaičių rinkinys N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Visų skaičių rinkinys E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Racionalių skaičių pogrupis Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Realių skaičių rinkinys R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Rinkiniai pavadinti raidžių raidėmis, kapitalizuotomis; elementai pavadinami mažosiomis raidėmis, viduje ({}) ir atskirtos kableliais (, ). Jie paprastai yra pateikiami tokiose schemose kaip Venn ir Caroll, taip pat skaičiuojant.

Su pagrindinėmis operacijomis, tokiomis kaip sąjunga, sankryža, papildymas, skirtumas ir dekarto gaminys, rinkiniai ir jų elementai valdomi priklausomybės santykiu.

Yra keletas rūšių rinkinių, labiausiai ištirti diskretiškoje matematikoje yra šie:

Galutinis rinkinys

Tai yra tas, kuris turi ribotą elementų skaičių ir atitinka natūralų skaičių. Pavyzdžiui, A = {1, 2, 3, 4} yra baigtinis rinkinys, turintis 4 elementus.

Begalinis apskaitos rinkinys

Tai yra tas, kuriame yra rinkinio elementų ir natūralių skaičių atitiktis; ty iš elemento visi rinkinio elementai gali būti išvardyti iš eilės.

Tokiu būdu kiekvienas elementas atitinka kiekvieną natūralių skaičių rinkinio elementą. Pavyzdžiui:

Visų skaičių Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} rinkinys gali būti nurodytas kaip Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. Tokiu būdu galima sudaryti „vienas su vienu“ atitikimą tarp „Z“ elementų ir natūralių skaičių, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje:

Tai metodas, naudojamas sprendžiant nuolatines problemas (modelius ir lygtis), kurios turi būti konvertuojamos į atskiras problemas, kuriose sprendimas yra žinomas su nuolatinės problemos sprendimo suderinimu.

Kitaip tariant, diskretizacija bando išgauti ribinį kiekį iš begalinio taškų rinkinio; tokiu būdu nepertraukiamas vienetas paverčiamas atskirais vienetais.

Paprastai šis metodas naudojamas skaitinėje analizėje, kaip, pavyzdžiui, diferencialinės lygties sprendime, naudojant funkciją, kuriai būdingas ribotas duomenų kiekis savo domene, net jei jis yra nepertraukiamas.

Kitas diskretizavimo pavyzdys yra jo panaudojimas analoginiam signalui konvertuoti į skaitmeninį, kai nuolatiniai signalų vienetai paverčiami atskirais vienetais (jie yra diskretizuoti), o tada koduojami ir kvantuojami, kad gautų skaitmeninį signalą.