Apytikslių apskaičiavimas naudojant diferencialą

Matematikos aproksimacija yra skaičius, kuris nėra tiksli kažko vertė, bet yra taip arti, kad ji yra naudinga kaip tiksli vertė.

Kai matematikos matmenys yra apytikriai, tai yra todėl, kad rankiniu būdu sunku (ar kartais neįmanoma) žinoti tikslią norimos reikšmės vertę.

Pagrindinis įrankis, kai dirbama su apytiksliais, yra funkcijos skirtumas.

Funkcijos f skirtumas, žymimas Δf (x), yra ne daugiau kaip funkcijos f išvestis, padaugintas iš nepriklausomo kintamojo, ty Δf (x) = f '(x) * Δx.

Kartais vietoj Δf ir Δx naudojamas df ir dx.

Taikomi skirtumai

Formulė, taikoma taikant diferencijavimą, atsiranda tik apibrėžiant funkcijos, kaip ribos, išvestį.

Šią formulę pateikia:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Čia suprantama, kad Δx = x-x0, todėl x = x0 + Δx. Naudojant šią formulę galima perrašyti kaip

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Atkreipkite dėmesį, kad „x0“ nėra savavališka vertė, bet yra tokia reikšmė, kad f (x0) yra lengvai žinoma; Be to, „f (x)“ - tai tik norima apytikslė vertė.

Ar yra geresnių metodų?

Atsakymas yra „taip“. Ankstesnis yra paprasčiausias apytikslis, vadinamas „linijiniu aproksimavimu“.

Siekiant geresnės kokybės aproksimacijos (klaidos yra mažesnės), naudojami polinomai, kuriuose yra daugiau išvestinių darinių, vadinamų „Taylor Polynomials“, taip pat kiti skaitiniai metodai, pvz., Newton-Raphson metodas.

Strategija

Toliau pateikiama strategija yra:

- Pasirinkite tinkamą funkciją f, kad atliktumėte aproksimaciją, ir reikšmę „x“, kad f (x) būtų apytikslė vertė.

- Pasirinkite vertę «x0», artimą «x», kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti.

- Apskaičiuokite Δx = x-x0.

- Apskaičiuokite funkcijos ir f '(x0) išvestį.

- Pakeiskite duomenis formulėje.

Išsiaiškinti priartinimo pratimai

Toliau vyksta pratimų serija, kurioje atliekami skirtumai.

Pirmasis pratimas

Apytiksliai √3.

Sprendimas

Laikantis strategijos, reikia pasirinkti tinkamą funkciją. Šiuo atveju galima matyti, kad pasirinkta funkcija turi būti f (x) = √xy ir apytikslė vertė yra f (3) = √3.

Dabar turime pasirinkti vertę "x0" arti "3", kad f (x0) būtų lengva apskaičiuoti. Pasirinkus „x0 = 2“ reiškia, kad „x0“ yra artimas „3“, bet f (x0) = f (2) = √2 nėra lengva apskaičiuoti.

Patogu „x0“ vertė yra «4», nes «4» yra artima «3» ir taip pat f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jei "x = 3" ir "x0 = 4", tada Δx = 3-4 = -1. Dabar mes skaičiuojame f išvestį. Tai reiškia, kad f '(x) = 1/2 * √x, kad f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Pakeiskite visas formulės reikšmes:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1, 75.

Jei naudojamas skaičiuoklė, gaunama, kad √3≈1.73205 ... Tai rodo, kad ankstesnis rezultatas yra geras tikrosios vertės apytikslis.

Antrasis pratimas

Apytiksliai √10.

Sprendimas

Kaip ir anksčiau, pasirinkome funkciją f (x) = √xy ir šiuo atveju x = 10.

X0 reikšmė, kurią reikia pasirinkti, yra «x0 = 9». Tada turime Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ir f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Vertindami formulę jūs gaunate tai

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Naudodami skaičiuoklę, jūs gaunate √10 ≈ 3.1622776 ... Čia taip pat galite pamatyti, kad anksčiau buvo gautas geras apytikslis.

Trečiasis pratimas

Apytikslė ³ 10, kur ³√ žymi kubo šaknį.

Sprendimas

Akivaizdu, kad funkcija, kuri turėtų būti naudojama šioje pratyboje, yra f (x) = ³√xy ir «x» reikšmė turi būti «10».

Vertė, artima „10“, kad jos kubo šaknis yra žinoma, yra „x0 = 8“. Tada mes turime, kad Δx = 10-8 = 2 ir f (x0) = f (8) = 2. Mes taip pat turime, kad f '(x) = 1/3 * ³√x², taigi f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Pakeitus formulės duomenis, gaunama:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

Skaičiuoklė sako, kad √√10 ≈ 2.15443469 ... Todėl nustatyta aproksimacija yra gera.

Ketvirtasis pratimas

Apytikslė ln (1, 3), kur «ln» reiškia natūralią logaritmo funkciją.

Sprendimas

Pirma, pasirenkama funkcija f (x) = ln (x) ir „x“ vertė yra 1.3. Dabar, žinodami šiek tiek apie logaritminę funkciją, galime žinoti, kad ln (1) = 0, o taip pat «1» yra artimas «1.3». Todėl mes pasirenkame «x0 = 1» ir taip Δx = 1, 3 - 1 = 0, 3.

Kita vertus, f '(x) = 1 / x, kad f' (1) = 1. Vertinant pagal pateiktą formulę turite:

ln (1, 3) = f (1, 3) ≈ 0 + 1 * 0, 3 = 0, 3.

Kai naudojate skaičiuoklį, turite ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Taigi atliktas suderinimas yra geras.