Žalioji teorema, demonstravimas, programos ir išspręstos pratybos

Žalioji teorema - tai skaičiavimo metodas, naudojamas susieti linijų integralus su dvigubu plotu arba paviršiaus integralais. Atitinkamos funkcijos turi būti pažymėtos vektoriaus laukais ir apibrėžtos C trajektorijoje.

Pavyzdžiui, linijos integrali išraiška gali būti labai sudėtinga išspręsti; tačiau, įgyvendinant „Green“ teoremą, dvigubi integralai tampa gana paprasti. Visada svarbu laikytis teigiamos trajektorijos krypties, tai reiškia prieš laikrodžio rodyklę.

Žalioji teorema yra konkretus Stokso teoremos atvejis, kur vektoriaus funkcijos projekcija atliekama xy plokštumoje.

Apibrėžimas

Žaliojo teorijos išraiška yra tokia:

Pirmajame etape stebimas linijos integralas, apibrėžtas skaliarinio produkto keliu „C“ tarp vektoriaus funkcijos „F“ ir vektoriaus „r“.

C: Tai yra apibrėžtas kelias, per kurį vektoriaus funkcija bus projektuojama tol, kol ji bus apibrėžta šiai plokštumai.

F: Vektorinė funkcija, kurioje kiekvienas jo komponentas yra apibrėžiamas kaip tokia funkcija (f, g).

A: Tai vektorius, liečiantis regioną R, kuriame yra apibrėžtas integralas. Šiuo atveju mes dirbame su šio vektoriaus skirtumu.

Antrajame etape matome „Green“ teoremą, kur mes stebime dvigubą integrą, apibrėžtą R regione, iš dalies iš dalies iš dalies išvestų gyf skirtumų, atsižvelgiant į kirvį ir y. Ploto skirtumui, kuris yra ne didesnis už abiejų dvimatių diferencialų (dx.dy) rezultatą.

Ši teorija puikiai tinka erdvės ir paviršiaus integralams.

Demonstravimas

Norėdami parodyti „Green“ teoremą paprastu būdu, ši užduotis bus suskirstyta į 2 dalis. Pirmiausia darysime prielaidą, kad vektoriaus funkcija F turi tik apibrėžimą verso i. Nors funkcijai „g“, atitinkančiam j eilutę, bus lygus nuliui.

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + y j

dr = dx i + dy j

Pirmiausia mes sukūrėme linijos integralę per trajektoriją C, kuriam trajektorija buvo suskirstyta į dvi sekcijas, kurios pirmiausia pereina nuo a iki b ir tada nuo b iki a.

Taikoma apibrėžtos integralo skaičiavimo pagrindinės teoremos apibrėžtis.

Išraiška yra pertvarkyta į vieną integralą, tampa bendra neigiamu veiksniu, o veiksnių eilė yra apversta.

Išsamiai stebint šią išraišką paaiškėja, kad, taikant primityviosios funkcijos kriterijus, vienas yra f išvestinės išraiškos integralėje y atžvilgiu. Vertinama pagal parametrus

Dabar pakanka manyti, kad vektoriaus funkcija F yra apibrėžta tik g (x, y) j . Kur veikti tokiu pačiu būdu, kaip ir ankstesniais atvejais:

Norėdami baigti, paimkite 2 demonstracijas ir prisijunkite tuo atveju, kai vektoriaus funkcija užima abiejų vertintojų vertes. Tokiu būdu jis bus parodytas kaip linijos integralas po to, kai jis apibrėžiamas ir laikomas vieno matmens trajektorija, jis gali būti pilnai sukurtas plokštumai ir erdvei.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

Tokiu būdu įrodyta „Green“ teorema.

Programos

„Green“ teoremos taikymas yra platus fizikos ir matematikos srityse. Tai taikoma bet kokiai programai ar naudojimui, kurį galima suteikti linijos integracijai.

Mechaninę darbą, atliktą jėga F per trajektoriją C, galima sukurti linijos integralu, kuris yra išreikštas kaip dvigubas erdvės integralas, naudojant Green'o teoremą.

Daugelio kūnų inercijos akimirkos, kurioms taikomos išorinės jėgos skirtinguose taikomuosiuose taškuose, taip pat reaguoja į linijų integralus, kuriuos galima sukurti naudojant „Green“ teoremą.

Tai turi daug funkcijų naudojamų medžiagų atsparumo tyrimams. Kai išorės vertybės gali būti kiekybiškai įvertintos ir į jas atsižvelgiama prieš kuriant įvairius elementus.

Apskritai, „Green“ teorema palengvina sričių, kuriose vektoriaus funkcijos yra apibrėžtos regionui, supratimą ir apibrėžimą pagal trajektoriją.

Istorija

Ji buvo paskelbta 1828 m. Darbe „ Matematinė analizė prie elektros ir magnetizmo teorijų“, kurią parašė britų matematikas George Green. Jame nagrinėjami gana lemiami skaičiavimų fizikoje skyriai, pvz., Potencialių funkcijų samprata, „Green“ funkcijos ir jo paties pavadinimo teoremos taikymas.

George Green formaliai savo 40 metų amžiaus karjerą, iki šiol visiškai savarankiškai mokydamas matematiką. Studijavęs Kembridžo universitete tęsė savo mokslinius tyrimus, prisidėdamas prie akustikos, optikos ir hidrodinamikos srityse, kurios vis dar galioja šiandien.

Ryšys su kitais teorijomis

Žalioji teorema yra ypatingas atvejis ir kyla iš dviejų kitų labai svarbių skaičiavimo šakos teoremų. Tai yra Kelvino-Stokso teorema ir „Divergence“ arba „Gauss Ostrogradski“ teorema.

Nuo kurios nors iš šių teoremų galima pasiekti „Green“ teoremą. Tam tikri apibrėžimai ir pasiūlymai yra būtini tokiems demonstracijoms kurti.

Pratimai

- Toliau pateikiamas pratimas parodo, kaip linijos integrą paversti dviguba integracija į R regioną.

Pradinė išraiška yra tokia:

Kai atitinkamos funkcijos imamos afyg

f (x, y) = x3 g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Taikant „Green“ teoremą nėra unikalios galimybės apibrėžti integracijos ribas. Tačiau yra būdų, kaip integruotieji po apibrėžimo gali būti paprastesni. Tokiu būdu, kad integracijos ribų optimizavimas nusipelno dėmesio.

Kur išspręsti gautus integralus:

Ši vertė kubiniais vienetais atitinka regioną, žemesnį už vektoriaus funkciją, ir trikampiame regione, kurį apibrėžia C.

Jei linijos integralas nebūtų atliekamas naudojant „Žalią“ metodą, reikėjo parametrų parametrus kiekvienoje regiono dalyje. Tai reiškia, kad atliekami trys parametriniai integralai, skirti išspręsti. Tai yra pakankamas įrodymas, kad Robertas Greenas su savo teorema atnešė skaičiavimus.