Furjė transformacija: savybės, programos, pavyzdžiai ir pratimai

Furjė transformacija yra analitinio pritaikymo metodas, orientuotas į integruotas funkcijas, priklausančias integruotų transformacijų šeimai. Ją sudaro funkcijų f (t) iš naujo apibrėžimas pagal Cos (t) ir Sen (t).

Šių funkcijų trigonometriniai identitetai kartu su jų išvestinėmis ir antideryvacinėmis savybėmis padeda apibrėžti Furjė transformaciją per šią sudėtingą funkciją:

Tai tiesa, kol išraiška yra prasminga, ty kai netinkamas integralas yra konvergencinis. Algebriniu būdu sakoma, kad Furjė transformacija yra linijinis homeomorfizmas.

Bet kokia funkcija, kurią galima apdoroti su Furjė transformacija, turi būti negaliojanti už apibrėžto parametro.

Savybės

Furjė transformacija atitinka šias savybes:

Egzistavimas

Siekiant patikrinti Furjė transformacijos egzistavimą f (t) funkcijoje, apibrėžtoje realuose R, turi būti įvykdytos šios 2 aksiomos:

f (t) yra nepertraukiamas visiems vienetams
f (t) yra integruotas į R

Furjė transformacijos linijiškumas

Leiskite M (t) ir N (t) būti bet kokia dviem funkcijomis su apibrėžtomis Furjė transformacijomis, turinčiomis a ir b konstantas.

F [a M (t) + bN (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + bF [N (t)] (z)

Kuris taip pat yra pagrįstas to paties pavadinimo vientisumo linijumu.

Išvestinės priemonės Fourier transformacija

Mes turime funkciją f, kuri yra nepertraukiama ir integruota visose realijose, kur:

F (f ') darinys yra nepertraukiamas ir apibrėžtas vienetais per R

Išvestinės priemonės Furjė transformacija apibrėžiama integruojant pagal dalis, pagal šią išraišką:

F [f '(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

Didesnės eilės išvestyse jis bus taikomas homologiškai, kur visiems n 1:

F [f n '(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Furjė transformacijos diferencijavimas

Mes turime funkciją f, kuri yra nepertraukiama ir integruota visose realijose, kur:

i (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Vertimo Furjė transformacija

Visam θ, kuris priklauso S ir T rinkiniui, kuris priklauso S rinkiniui, jis turi:

F [ τ _a θ] = e-iay F [ θ] F [ τ _a T ] = e-iax F [ T]

Su τ _a veikia kaip vertimo operatorius vektoriuje a.

Furjė transformacijos vertimas

Visam θ, kuris priklauso S ir T rinkiniui, kuris priklauso S rinkiniui, jis turi:

τ _a F [θ] = F [e-x . θ] τ _a F [T ] = F [e-iay . T]

Visiems, kurie priklauso R

Skalės grupės Fourier transformacija

Visam θ, kuris priklauso rinkiniui S. T, kuris priklauso rinkiniui S '

λ, priklausantis R - {0}, turite:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / λ )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ )

Jei f yra nuolatinė ir aiškiai integruota funkcija, kur a> 0. Tada:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Norėdami parodyti šį rezultatą, galite keisti kintamąjį.

Kai T → + tada s = ne → + ∞

Kai T → - tada s = ne → - ∞

Simetrija

Norėdami ištirti Furjė transformacijos simetriją, turi būti patikrinta Parseval tapatybė ir Plancherel formulė.

Mes turime θ ir δ, kurie priklauso S. Iš ten galima daryti išvadą, kad:

Gauti

1 / (2π) d { F [θ ], F [δ ] } „Parseval“ tapatybė

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] || Plancherel _L 2 _R d formulė

Ketvirtojo konvertavimo produkto transformacija

Pagal panašius tikslus, kurie Laplaso transformacijoje, funkcijų konvoliucija reiškia produktą tarp jo Fourier transformacijų.

Turime f ir g kaip 2 ribotas, apibrėžtas ir visiškai integruotas funkcijas:

F (f * g) = F (f). F (g)

Tada keičiant kintamąjį

t + s = x; tęsiasi su netinkamu dvigubu integralu

F (f). F (g) = F (f. G)

Tęstinumas ir begalybė

Visiems θ, kurie priklauso R, F [ θ] laikosi nuolatinės funkcijos, apribotos Rd.

Taip pat { F [ θ] (y)} → 0 C, jei | y | → ∞

Istorija

Šią matematinę koncepciją 1811 m. Pristatė Džozefas B. Furjė, kurdamas šilumos sklaidos traktatą . Ją greitai priėmė įvairios mokslo ir inžinerijos šakos.

Ji buvo sukurta kaip pagrindinė darbo priemonė dalinių diferencialinių lygčių tyrimui, net lyginant su darbo santykiais tarp Laplaso transformacijos ir paprastųjų diferencialinių lygčių.

Kam naudojamas „Fourier“ transformavimas?

Juo daugiausia siekiama žymiai supaprastinti lygtis, o išvestines išraiškas paverčiant galios elementais, o tai reiškia diferencines išraiškas integruotų polinomų forma.

Optimizuojant, moduluojant ir modeliuojant rezultatus, tai yra standartizuota išraiška, kuri yra dažnas šaltinis inžinerijai po kelių kartų.

„Fourier“ serija

Jie yra serijos, apibrėžtos pagal kosines ir krūtis; jie padeda palengvinti darbą su bendromis periodinėmis funkcijomis. Taikant, jie yra dalinių ir paprastų diferencialinių lygčių sprendimo būdų dalis.

„Fourier“ serijos yra dar bendresnės nei „Taylor“ serijos, nes jos kuria periodines nenutrūkstamas funkcijas, kurios neturi reprezentacijos „Taylor“ serijoje.

Kitos Fourier serijos formos

Norint suprasti Furjė transformaciją analitiškai, svarbu peržiūrėti kitas formas, kuriose galima rasti „Fourier“ seriją, kol negalime apibrėžti „Fourier“ serijos savo sudėtinėje žymoje.

- „Fourier“ serijos 2L periodo funkcijai

Daug kartų būtina pritaikyti „Fourier“ serijos struktūrą periodinėms funkcijoms, kurių laikotarpis yra p = 2L> 0 intervale [-L, L].

- Furjė serijos nelygios ir lygios funkcijos

Laikoma, kad intervalas [-π, π] suteikia pranašumų naudodamas simetriškas funkcijų savybes.

Jei f yra lygus, „Fourier“ serija yra sukurta kaip „Cosines“ serija.

Jei f yra nelyginis, „Fourier“ serija yra sukurta kaip „Sines“ serija.

- Užpildytas „Fourier“ serijos žymėjimas

Jei turime funkciją f (t), kuri atitinka visus reikalavimus, keliamus Fourier serijos plėtrai, galima pažymėti ją intervalu [-t, t], naudojant sudėtingą žymėjimą:

Programos

Pagrindinio sprendimo apskaičiavimas

Furjė transformacija yra galingas įrankis tiriant dalinės diferencialinės lygtys linijinio tipo su pastoviais koeficientais. Jie vienodai taikomi su ribotomis sritimis.

Kaip ir Laplaso transformacija, Furjė transformacija paverčia dalinę išvestinę funkciją į paprastą diferencialinę lygtį, kuri yra daug paprastesnė.

Šilumos lygties Cauchy problema rodo dažną Furjė transformacijos taikymo sritį, kur generuojama pagrindinė šilumos funkcija arba Dirichlet branduolys.

Kalbant apie pagrindinio sprendimo apskaičiavimą, pateikiami tokie atvejai, kai yra paprasta rasti „Fourier“ transformaciją:

- Laplaso pareikalavimas

- šilumos išsiskyrimas

- Šrödingerio miestas

- bangų išraiška

Signalo teorija

Bendra priežastis, kodėl šioje šakoje naudojama Fourier transformacija, yra daugiausia dėl to, kad signalas yra būdingas, kaip begalinis lengviau apdorojamų signalų superpozicija.

Tai gali būti garso banga arba elektromagnetinė banga, Furjė transformacija ją išreiškia paprastų bangų superpozicijoje. Šis vaizdavimas yra gana dažnas elektros inžinerijoje.

Kita vertus, yra Fourier transformacijos taikymo signalų teorijos srityje pavyzdžiai:

- Sistemos identifikavimo problemos. Nustatyta fyg

-Problema su išvesties signalo nuoseklumu

- Problemos, susijusios su signalo filtravimu