Izometriniai transformacijos: sudėtis, tipai ir pavyzdžiai
Izometrinės transformacijos yra tam tikro skaičiaus padėties ar orientacijos pokyčiai, nekeičiantys jo formos ar dydžio. Šios transformacijos skirstomos į tris tipus: vertimą, sukimąsi ir atspindį (izometrija). Apskritai, geometrinės transformacijos leidžia sukurti naują figūrą iš kito.
Pertvarkymas į geometrinį figūrą reiškia, kad tam tikra prasme jis buvo pakoreguotas; tai yra, kad jis buvo pakeistas. Pagal originalo jausmą ir panašias plokštumoje geometrines transformacijas galima suskirstyti į tris tipus: izometrinius, izomorfinius ir anamorfinius.
Savybės
Izometrinės transformacijos įvyksta, kai išsaugomi segmentų dydžiai ir kampai tarp originalo ir transformuoto figūros.
Šio tipo transformacijos metu nei figūros forma, nei dydis nekeičiami (jie yra vienodi), tai tik figūros padėtis, orientacija ar kryptimi. Tokiu būdu pradiniai ir galutiniai skaičiai bus panašūs ir geometriniai.
Izometrija reiškia lygybę; tai reiškia, kad geometriniai skaičiai bus izometriniai, jei jie turi tą pačią formą ir dydį.
Izometrinių transformacijų metu vienintelis pastebimas dalykas yra padėties pasikeitimas plokštumoje, atsiranda standus judėjimas, dėl kurio figūra eina iš pradinės padėties į galutinę padėtį. Šis skaičius vadinamas homologiniu (panašiu) su originalu.
Yra trys judesių tipai, kurie klasifikuoja izometrinę transformaciją: vertimą, sukimąsi ir atspindį ar simetriją.
Tipai
Pagal vertimą
Tai yra tos izometrijos, kurios leidžia judėti tiesia linija visus lėktuvo taškus tam tikra kryptimi ir atstumu.
Kai paveikslas transformuojamas vertimu, jis nekeičia jo orientacijos pradinės padėties atžvilgiu, taip pat nepraranda savo vidinių priemonių, kampų ir šonų matų. Šio tipo poslinkį apibrėžia trys parametrai:
- viena kryptis, kuri gali būti horizontali, vertikali arba įstriža.
- Jausmas, kuris gali būti kairėje, dešinėje, aukštyn arba žemyn.
- Atstumas arba dydis, kuris yra ilgis nuo pradinės padėties iki bet kurio taško, kuris juda, pabaigos.
Tam, kad būtų įvykdytas izometrinis transformavimas vertimu, jis turi atitikti šias sąlygas:
- Figūra visada turi išlaikyti visus matmenis, tiek linijinius, tiek kampinius.
- paveikslas nekeičia jo padėties horizontaliosios ašies atžvilgiu; tai yra, jo kampas niekada nesikeičia.
- Vertimai visada bus apibendrinti vienoje, neatsižvelgiant į atliktų vertimų skaičių.
Lėktuve, kur centras yra taškas O, su koordinatėmis (0, 0), vertimą apibrėžia vektorius T (a, b), kuris rodo pradinio taško poslinkį. Tai yra:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Pavyzdžiui, jei koordinačių taškui P (8, -2) taikomas vertimas T (-4, 7), gauname:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)
Toliau pateiktame paveikslėlyje (kairėje) matyti, kaip taškas C persikėlė į D tašką. Jis tai padarė vertikalia kryptimi, kryptis buvo aukštesnė, o atstumas ar dydis - 8 metrai. Dešinėje nuotraukoje stebimas trikampis:
Pagal rotaciją
Tai yra tos izometrijos, kurios leidžia skaičiui pasukti visus plokštumos taškus. Kiekvienas taškas sukasi po lanko, kurio kampas yra pastovus ir nustatomas fiksuotas taškas (sukimosi centras).
Tai reiškia, kad visas sukimas bus apibrėžtas pagal jo sukimosi centrą ir sukimosi kampą. Kai figūra transformuojama sukimosi būdu, ji išlaiko savo kampų ir šonų matą.
Sukimas vyksta tam tikra kryptimi, yra teigiamas, kai sukimas yra prieš laikrodžio rodyklę (priešingai nei laikrodžio rankos) ir neigiamas, kai jo sukimas yra pagal laikrodžio rodyklę.
Jei taškas (x, y) pasukamas pagal kilmę, ty jo sukimosi centras yra (0, 0) - 90o ir 360o kampu taškų koordinatės bus:
Tais atvejais, kai sukimasis neturi jokio centro, koordinačių sistemos kilmė turi būti perkelta į naują nurodytą kilmę, kad būtų galima pasukti figūrą, kurios kilmė yra jos centras.
Pavyzdžiui, jei taškas P (-5, 2) yra sukamas 90 ° kampu, aplink kilmę ir teigiama kryptimi, jos naujos koordinatės bus (-2, 5).
Per atspindį ar simetriją
Tai yra tos transformacijos, kurios apverčia plokštumos taškus ir figūras. Šios investicijos gali būti susijusios su tašku arba taip pat gali būti susijusios su linija.
Kitaip tariant, šio tipo transformacijoje kiekvienas pradinio skaičiaus taškas yra susijęs su kitu homologinio figūros tašku (vaizdu) taip, kad taškas ir jo atvaizdas yra to paties atstumo nuo linijos, vadinamos simetrijos ašimi.,
Taigi kairė figūros dalis bus dešinės dalies atspindys, nekeičiant jo formos ar matmenų. Simetrija paverčia vieną figūrą į kitą, nors ir priešinga kryptimi, kaip matyti iš šio paveikslėlio:
Simetrija yra daugeliu aspektų, pvz., Kai kuriuose augaluose (saulėgrąžose), gyvūnuose (povas) ir gamtos reiškiniuose (snaigės). Žmogus atspindi jį ant veido, kuris laikomas grožio veiksniu. Atspindėjimas ar simetrija gali būti dviejų tipų:
Centrinė simetrija
Būtent tokia transformacija vyksta taško atžvilgiu, kurioje paveikslas gali pakeisti jo orientaciją. Kiekvienas pradinio skaičiaus taškas ir jo vaizdas yra tame pačiame atstumu nuo taško O, vadinamo simetrijos centru. Simetrija yra centrinė, kai:
- Tiek taškas, tiek jo vaizdas ir centras priklauso tai pačiai linijai.
- 180 ° sukant centrą O gaunamas originalo skaičius.
- Pradinio skaičiaus smūgiai yra lygiagrečiai suformuotos figūros smūgiais.
- paveikslo prasmė nepasikeičia, ji visada bus laikrodžio rodyklės kryptimi.
Ši transformacija vyksta simetrijos ašies atžvilgiu, kur kiekvienas pradinio skaičiaus taškas yra susijęs su kitu vaizdo tašku, ir jie yra tame pačiame atstumu nuo simetrijos ašies. Simetrija yra ašinė, kai:
- Segmentas, jungiantis tašką su vaizdu, yra statmenas jos simetrijos ašiai.
- Skaičiai keičia posūkio kryptimi arba pagal laikrodžio rodyklę.
- Skirstant figūrą centrine linija (simetrijos ašimi), viena iš gautų pusių visiškai sutampa su kita pusė.
Sudėtis
Izometrinių transformacijų kompozicija reiškia izometrinių transformacijų nuoseklų taikymą tame pačiame paveiksle.
Vertimo sudėtis
Dviejų vertimų sudėtis sukuria kitą vertimą. Kai tai daroma plokštumoje, horizontalioje ašyje (x) pasikeičia tik tos ašies koordinatės, o vertikalios ašies (y) koordinatės lieka tos pačios, ir atvirkščiai.
Sukimosi sudėtis
Dviejų posūkių su tuo pačiu centru sudėties rezultatas - kitas posūkis, kuris turi tą patį centrą ir kurio amplitudė bus abiejų posūkių amplitudės suma.
Jei centras sukasi skirtingai, dviejų panašių taškų segmentų skerspjūvio pjūvis bus sukimosi centras.
Simetrijos sudėtis
Tokiu atveju sudėtis priklausys nuo to, kaip ji bus taikoma:
- Jei ta pati simetrija yra taikoma du kartus, rezultatas bus tapatybė.
- Jei dviejų lygiagrečių ašių atžvilgiu taikomos dvi simetrijos, rezultatas bus vertimas, o jo poslinkis yra dvigubai didesnis už šių ašių atstumą:
- Jei dviejų ašių atžvilgiu, kurios yra nupjautos O taške (viduryje), taikomos dvi simetrijos, bus gautas sukimas su centru O, o jo kampas bus dvigubai didesnis už ašių sukurtą kampą:
