Sintetinis skyrius: metodas ir išspręstos pratybos
Sintetinis padalijimas yra paprastas būdas dalyti polinomą P (x) bet kuria forma d (x) = x - c. Tai labai naudinga priemonė, nes, be to, leidžia mums padalinti polinomus, taip pat leidžiame įvertinti polinomą P (x) bet kuriame c skaičiuje, kuris savo ruožtu mums tiksliai nurodo, ar šis skaičius yra nulinis, ar ne.
Padalijimo algoritmo dėka žinome, kad jei mes turime du ne pastovius polinomus P (x) ir d (x), yra unikalių polinomų q (x) ir r (x), kad P (x) = q (x ) d (x) + r (x), kur r (x) yra nulis arba mažesnis nei q (x). Šie polinomai yra žinomi kaip koeficientai ir likučiai arba likutis.
Kartais, kai polinomas d (x) yra formos x-c, sintetinis padalijimas suteikia mums trumpą būdą rasti, kas yra q (x) ir r (x).
Sintetinis skaidymo metodas
Leiskite P (x) = a n xn + a n-1 xn-1 + ... + a 1 x + a 0 polinomą, kurį norime padalinti yd (x) = xc daliklis. Norėdami padalyti iš sintetinio padalijimo metodo, mes atliekame šiuos veiksmus:
1- Pirmoje eilutėje rašome P (x) koeficientus. Jei bet kokia X galia nepasirodys, nulį nustatome kaip koeficientą.
2- Antroje eilutėje, kairėje nuo „ n“, įdedame c ir nupieškite skiriamąją liniją, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje:
3- Mes sumažiname pagrindinį koeficientą iki trečios eilės.
Šioje išraiška b n-1 = a n
4. Mes dauginame c pagal pagrindinį koeficientą b n-1, o rezultatas parašytas antroje eilutėje, o stulpelis dešinėje.
5 - Pridedame stulpelį, kuriame parašėme ankstesnį rezultatą, ir rezultatą, kurį mes įdėjome pagal tą sumą; tai yra, toje pačioje skiltyje, trečioje eilutėje.
Pridedant mes turime rezultatą n-1 + c * b n-1, kuris patogumui vadinsime b n-2
6- Mes dauginame c pagal ankstesnį rezultatą ir antrajame eilutėje parašome rezultatą į dešinę.
7 - Kartojame 5 ir 6 žingsnius, kol pasieksime koeficientą 0 .
8- Rašykite atsakymą; tai yra koeficientas ir liekana. Kai mes darome n laipsnio polinomo padalijimą tarp 1 laipsnio polinomo, mes turime rimtą n-1 laipsnio koeficientą.
Bendrojo koeficiento polinomo koeficientai bus trečiojo eilutės, išskyrus paskutinį, skaičių, kuris bus likęs polinomas arba likęs dalijimasis.
Išspręstos pratybos
1 pavyzdys
Atlikite šį padalijimą sintetinio skaidymo metodu:
(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).
Sprendimas
Visų pirma dividendų koeficientus rašome taip:
Tada kairėje pusėje, antroje eilutėje kartu su padalijimo linijomis rašome c. Šiame pavyzdyje c = -1.
Mes sumažiname pagrindinį koeficientą (šiuo atveju b n-1 = 1) ir padauginsime iš -1:
Rašome rezultatą antroje eilutėje dešinėje, kaip parodyta žemiau:
Pridedame numerius antrame stulpelyje:
Mes padauginame 2 iki -1 ir parašome rezultatą į trečiąjį stulpelį, antrą eilutę:
Į trečiąjį stulpelį įtraukiame:
Toliau einame tol, kol pasieksime paskutinį stulpelį:
Taigi, mes turime, kad paskutinis gautas skaičius yra likęs padalijimas, o likę skaičiai yra koeficiento polinomo koeficientai. Tai parašyta taip:
Jei norime patikrinti, ar rezultatas yra teisingas, pakanka patikrinti, ar įvykdyta ši lygtis:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Tokiu būdu galime patikrinti, ar gautas rezultatas yra teisingas.
2 pavyzdys
Atlikite kitą polinomų padalijimą sintetinio skaidymo metodu
(7x3-x + 2): (x + 2)
Sprendimas
Šiuo atveju mes turime, kad terminas x2 nerodomas, taigi, kaip koeficientą, parašysime 0. Taigi polinomas išliks 7x3 + 0x2-x + 2.
Rašome jų koeficientus iš eilės, tai yra:
Antroje eilutėje kairėje pusėje užrašome C = -2 vertę ir nupiešiame padalijimo linijas.
Mes sumažiname pagrindinį koeficientą b n-1 = 7 ir padauginsime iš -2, o antrajame eilutėje parašome rezultatą.
Pridedame ir tęsiame, kaip paaiškinta anksčiau, kol pasieksime paskutinį terminą:
Šiuo atveju likusi dalis yra r (x) = - 52 ir gautas koeficientas yra q (x) = 7x2-14x + 27.
3 pavyzdys
Kitas būdas naudoti sintetinį padalijimą yra toks: Tarkime, kad mes turime laipsnio n polinomą P (x) ir norime žinoti, kas yra reikšmė vertinant ją x = c.
Pagal padalijimo algoritmą mes galime rašyti polinomą P (x) tokiu būdu:
Minėtoje išraiška q (x) ir r (x) yra atitinkamai koeficientas ir likutis. Dabar, jei d (x) = x- c, vertinant c polinome, randame:
Štai kodėl turime rasti tik ar (x), ir tai mes galime padaryti dėl sintetinio padalijimo.
Pavyzdžiui, mes turime polinomą P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 ir norime žinoti, kokia yra jo vertė, kai ją vertina x = 5. Tam mes atliekame padalijimą tarp P (x) yd (x) = x -5 sintetinio skaidymo metodu:
Atlikus operacijas, žinome, kad galime rašyti P (x) tokiu būdu:
P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Todėl vertindami ją turime:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Kaip matome, galima įvertinti sintetinį padalijimą polinomo reikšmės nustatymui, vertinant jį c, o ne tiesiog pakeičiant c x.
Jei bandėme įvertinti P (5) tradiciniu būdu, mes turėtume atlikti kai kuriuos skaičiavimus, kurie linkę tapti nuobodūs.
4 pavyzdys
Polinomų padalijimo algoritmas taip pat yra įvykdytas polinomams su sudėtingais koeficientais, ir todėl turime, kad sintetinio padalijimo metodas taip pat veikia minėtiems polinomams. Toliau matysime pavyzdį.
Mes panaudosime sintetinio padalijimo metodą, kad parodytume, kad z = 1+ 2i yra polinomo P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) nulis. tai reiškia, kad likusios dalelės P (x) tarp d (x) = x - z yra lygios nuliui.
Mes einame taip, kaip anksčiau: pirmojoje eilutėje rašome P (x) koeficientus, tada antrajame rašome z ir nupiešiame padalijimo linijas.
Mes padarėme padalijimą kaip ir anksčiau; tai yra:
Matome, kad likutis yra nulis; todėl darome išvadą, kad z = 1+ 2i yra P (x) nulis.
