Atskiros tikimybės pasiskirstymas: charakteristikos ir pratimai

Diskretinės tikimybės pasiskirstymas yra funkcija, kuri kiekvienam X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...} elementui priskiria, kur X yra tam tikras diskretiškas atsitiktinis kintamasis ir S yra jo atrankos erdvė, tikimybė, kad įvykis. Ši X (S) funkcija f, apibrėžta kaip f (xi) = P (X = xi), kartais vadinama tikimybės masės funkcija.

Ši tikimybių masė paprastai pateikiama kaip lentelė. Kadangi X yra diskretiškas atsitiktinis kintamasis, X (S) turi ribotą įvykių skaičių arba skaičiuojamą begalybę. Tarp labiausiai paplitusių diskrečiųjų tikimybių pasiskirstymų turime vienodą pasiskirstymą, binominį pasiskirstymą ir „Poisson“ pasiskirstymą.

Savybės

Tikimybių pasiskirstymo funkcija turi atitikti šias sąlygas:

Be to, jei X užima tik ribotą reikšmių skaičių (pavyzdžiui, x1, x2, ..., xn), tada p (xi) = 0, jei i> ny, todėl begalinė sąlygų b serija tampa baigtinė serija.

Ši funkcija taip pat atitinka šias savybes:

B yra įvykis, susijęs su atsitiktiniu kintamuoju X. Tai reiškia, kad B yra X (S). Tiksliau, tarkime, kad B = {xi1, xi2, ...}. Todėl:

Kitaip tariant, įvykio B tikimybė yra lygi atskirų rezultatų, susijusių su B.

Iš to galima daryti išvadą, kad jei a <b, įvykiai (X ≤ a) ir (a <X ≤ b) yra tarpusavyje nesuderinami, be to, jų sąjunga yra įvykis (X ≤ b), todėl turime:

Tipai

Vienodas paskirstymas per n taškus

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X seka pasiskirstymą, kuriam būdingas vienodas n taškuose, jei kiekvienai vertei priskiriama tokia pati tikimybė. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Tarkime, kad turime eksperimentą, turintį du galimus rezultatus, tai gali būti moneta, kurios galimi rezultatai yra veidas arba spaudas, supimas arba viso numerio, kurio rezultatas gali būti lygus skaičius arba nelyginis skaičius, pasirinkimas; Šis eksperimento tipas yra žinomas kaip Bernoulli testai.

Apskritai, du galimi rezultatai yra vadinami sėkme ir nesėkme, kur p yra sėkmės tikimybė ir 1-p nesėkmės tikimybė. Mes galime nustatyti x sėkmės tikimybę n Bernoulli testuose, kurie yra nepriklausomi vienas nuo kito ir su šiuo paskirstymu.

Binominis pasiskirstymas

Būtent ši funkcija reiškia tikimybę gauti x sėkmę n nepriklausomuose Bernoulli testuose, kurių sėkmės tikimybė yra p. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Toliau pateiktas grafikas rodo tikimybės masės funkciją skirtingoms binominio pasiskirstymo parametrų reikšmėms.

Toliau pateikiamas pasiskirstymas priskiriamas Prancūzijos matematikui Simeonui Poissonui (1781-1840), kuris jį gavo kaip binominio pasiskirstymo ribą.

Puasono pasiskirstymas

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X turi parametro λ Poisson pasiskirstymą, kai jis gali imtis teigiamų sveikojo skaičiaus reikšmių 0, 1, 2, 3, ... su tokia tikimybe:

Šioje formulėje λ yra vidutinis skaičius, atitinkantis įvykio įvykius kiekvienam laiko vienetui, o x - tai įvykių skaičius.

Jo tikimybės masės funkcija yra:

Po to grafikas, kuris atspindi tikimybės masės funkciją skirtingoms Poisson paskirstymo parametrų vertėms.

Atkreipkite dėmesį, kad tol, kol sėkmių skaičius yra mažas ir binominio pasiskirstymo testų skaičius yra didelis, mes visada galime apytiksliai įvertinti šiuos paskirstymus, nes Poisson'o pasiskirstymas yra binominio pasiskirstymo riba.

Pagrindinis skirtumas tarp šių dviejų paskirstymų yra tas, kad, nors binominis priklauso nuo dviejų parametrų, būtent n ir p-Poisson's priklauso tik nuo λ, kuris kartais vadinamas paskirstymo intensyvumu.

Iki šiol kalbėjome tik apie tikimybių pasiskirstymą tais atvejais, kai skirtingi eksperimentai yra nepriklausomi vienas nuo kito; tai yra, kai vieno rezultato neturi jokio kito rezultato.

Kai eksperimentų, kurie nėra nepriklausomi, atvejis yra labai naudingas, yra labai naudinga.

Hipergeometrinis pasiskirstymas

Leiskite N būti baigtinio rinkinio objektų, iš kurių mes galime atpažinti aką, skaičius, tokiu būdu sudarant K poaibį, kurio komplementą sudaro likę Nk elementai.

Jei atsitiktinai pasirenkame n objektus, atsitiktinis kintamasis X, rodantis K objektų skaičių, kad rinkimuose yra hipergeometrinis parametrų N, n ir k pasiskirstymas. Jo tikimybės masės funkcija yra:

Toliau pateiktoje diagramoje pavaizduota tikimybės masės funkcija skirtingoms hipergeometrinio pasiskirstymo parametrų vertėms.

Išspręstos pratybos

Pirmasis pratimas

Tarkime, kad tikimybė, kad radijo vamzdelis (įdedamas į tam tikrą įrangą) veikia ilgiau nei 500 valandų, yra 0, 2. Jei išbandoma 20 mėgintuvėlių, kokia tikimybė, kad tiksliai k iš jų veiks daugiau nei 500 valandų, k = 0, 1, 2, ..., 20?

Sprendimas

Jei X yra daugiau nei 500 valandų veikiančių vamzdžių skaičius, manome, kad X turi binominį pasiskirstymą. Tada

Ir taip:

K≥11 atveju tikimybės yra mažesnės nei 0, 001

Taigi mes galime pamatyti, kaip tikimybė, kad šie k veiks daugiau nei 500 valandų, pakyla, kol pasiekia didžiausią vertę (su k = 4) ir tada pradeda mažėti.