Octal sistema: istorija, numeravimo sistema ir konversijos

Aštuntoji sistema yra aštuonių (8) padėties numeracijos sistema; ty, jis susideda iš aštuonių skaitmenų, kurie yra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ir 7. Todėl kiekvienas oktalo skaičiaus skaitmenis gali turėti bet kurią reikšmę nuo 0 iki 7. Oktalo numeriai jie yra sudaryti iš dvejetainių skaičių.

Taip yra todėl, kad jos bazė yra tiksli dviejų galių galia (2). Tai reiškia, kad skaičiai, priklausantys oktalinei sistemai, suformuojami, kai jie yra suskirstyti į tris nuoseklius skaitmenis, išdėstyti iš dešinės į kairę, tokiu būdu gaunant jų dešimtainę reikšmę.

Istorija

Aštuntoji sistema yra kilusi iš senovės, kai žmonės naudojo savo rankas aštuonių iki aštuonių gyvūnų skaičiui.

Pavyzdžiui, norint suskaičiuoti karvių skaičių tvarte, vienas pradėjo skaičiuoti dešinėje, jungiantis nykštį su mažu pirštu; tada skaičiuojant antrąjį gyvūną nykštis buvo sujungtas su pirštu ir pan. su likusiais kiekvieno rankos pirštais iki užbaigimo 8.

Yra tikimybė, kad senovėje aštuntosios numeracijos sistema buvo naudojama prieš dešimtainį, kad būtų galima suskaičiuoti tarpplanetines erdves; ty skaičiuokite visus pirštus, išskyrus nykščius.

Vėliau buvo sukurta aštuntosios numeracijos sistema, kilusi iš dvejetainės sistemos, nes jai reikia daug skaitmenų, atstovaujančių tik vienam skaičiui; nuo to laiko buvo sukurtos aštuoniakampės ir šešiakampės sistemos, kurioms nereikia tiek daug skaitmenų ir kurias galima lengvai konvertuoti į dvejetainę sistemą.

Octal numeravimo sistema

Aštuntoji sistema susideda iš aštuonių skaitmenų nuo 0 iki 7. Tai turi tokią pačią reikšmę kaip ir dešimtainės sistemos atveju, tačiau jų santykinė vertė kinta priklausomai nuo jų užimamos vietos. Kiekvienos pozicijos vertę nustato baziniai įgaliojimai 8.

Ketvirtojo skaičiaus skaitmenų pozicijos turi šiuos svorius:

84, 83, 82, 81, 80, aštuntas taškas, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5.

Didžiausias aštuntas skaitmuo yra 7; tokiu būdu, skaičiuojant šią sistemą, vieno skaitmens pozicija padidinama nuo 0 iki 7. Kai ji pasiekia 7, ji bus perkelta į 0, jei bus skaičiuojama kita; taip padidėja kita skaitmenų padėtis. Pavyzdžiui, norėdami suskaičiuoti sekas, aštuntoje sistemoje jis bus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
53, 54, 55, 56, 57, 60.
375, 376, 377, 400.

Yra pagrindinė teorema, kuri taikoma oktalinei sistemai ir yra išreikšta taip:

Šioje frazėje di žymi skaičių, padaugintą iš bazinės galios 8, kuri nurodo kiekvienos skaitmenies padėties vertę taip pat, kaip ir dešimtainėje sistemoje.

Pavyzdžiui, turite numerį 543.2. Norint jį perkelti į aštuntąją sistemą, jis suskaidomas taip:

N = Σ [(5 _* 82) + (4 _* 81) + (3 _* 80) + (2 _* 8-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + ( 2 * 0, 125)

N = 320 +32 + 2 + 0, 25 = 354 + 0, 25 _d

Tokiu būdu turite 543, 2 _q = 354, 25 _d . Apatinis indeksas q rodo, kad tai yra aštuntasis skaičius, kurį taip pat gali rodyti skaičius 8; ir d indeksas reiškia dešimtainį skaičių, kuris taip pat gali būti pateikiamas skaičiumi 10.

Aštuntosios sistemos konvertavimas į dešimtainę

Norint konvertuoti aštuntosios sistemos numerį į jo ekvivalentą dešimtainėje sistemoje, kiekvieną dešimtainį skaičių reikia padauginti iš vietos vertės, pradedant nuo dešinės.

1 pavyzdys

732 ₈ = (7 _* 82) + (3 _* 81) + (2 _* 80) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

2 pavyzdys

26, 9 ₈ = (2 _* 81) + (6 _* 80) + (9 _* 8-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0, 125)

26, 9 ₈ = 16 + 6 + 1, 125

26, 9 ₈ = 23 125 ₁₀

Dešimtainės sistemos konvertavimas į aštuntąją

Dešimtainis sveikasis skaičius gali būti konvertuojamas į oktalinį skaičių, naudojant pakartotinį pasidalijimo metodą, kur dešimtainis sveikasis skaičius yra padalintas iš 8, kol koeficientas lygus 0, o kiekvieno padalinio liekanos atstovaus oktalinį skaičių.

Atliekos rūšiuojamos nuo paskutinio iki pirmojo; tai yra, pirmoji liekana bus mažiausia reikšminga oktalo skaičiaus skaitmenis. Tokiu būdu reikšmingiausias skaitmuo bus paskutinis likutis.

Pavyzdys

Dešimtainio skaičiaus 266 _{10 a}

- Padalinkite dešimtainį skaičių 266 tarp 8 = 266/8 = 33 + likučio 2.

- Tada 33 yra padalintas iš 8 = 33/8 = 4 + 1 liekanos.

- 4 padalinti iš 8 = 4/8 = 0 + likutį 4.

Kaip ir paskutiniame skyriuje, gaunamas mažesnis nei 1 koeficientas, tai reiškia, kad rezultatas buvo rastas; tik liekanos turi būti užsakomos atvirkštine tvarka, kad dešimtainio 266 skaičius būtų 412, kaip matyti iš šio paveikslėlio:

Aštuntosios sistemos konvertavimas į dvejetainį

Aštuntosios sistemos konvertavimas į dvejetainį atliekamas konvertuojant aštuntą skaitmenį į lygiavertį dvejetainį skaitmenį, sudarytą iš trijų skaitmenų. Yra lentelė, rodanti, kaip aštuoni galimi skaitmenys konvertuojami:

Iš šių konversijų galima keisti bet kurį skaičių iš aštuntosios sistemos į dvejetainį, pvz., Norint konvertuoti skaičių 572, ₈ jo ekvivalentai yra ieškomi lentelėje. Taigi, jūs turite:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Todėl binarinėje sistemoje 572 _{8 yra} lygiavertis iki 10111110.

Binarinės sistemos konvertavimas į aštuntąją

Binariniai sveikieji skaičiai konvertuojami į aštuonis sveikuosius skaičius yra atvirkštinė operacija ankstesniam procesui.

Tai reiškia, kad dvejetainio skaičiaus bitai yra suskirstyti į dvi grupes iš trijų bitų, pradedant nuo dešinės į kairę. Tada dvejetainis į aštuntąją konversiją atliekamas naudojant ankstesnę lentelę.

Kai kuriais atvejais dvejetainis skaičius neturės 3 bitų; ją užbaigti, vienas ar du nuliai pridedami prie pirmosios grupės kairėje pusėje.

Pvz., Norėdami pakeisti dvejetainį numerį 11010110 į aštuntą, atlikta:

- 3 bitų grupės sudaromos pradedant nuo dešinės (paskutinės bitės):

11010110

- Kadangi pirmoji grupė yra neišsami, į kairę įtraukiamas nulis:

011010110

- Konvertavimas atliekamas iš lentelės:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Taigi, dvejetainis numeris 011010110 yra lygus 326 ₈ .

Aštuntosios sistemos konvertavimas į šešioliktainį ir atvirkščiai

Norint, kad perėjimas nuo aštuntojo skaičiaus į šešioliktainę sistemą arba nuo šešioliktainio iki aštuntojo, būtina, kad šis numeris būtų pirmą kartą konvertuojamas į dvejetainį, o tada į norimą sistemą.

Tam yra lentelė, kurioje kiekvienas šešioliktainis skaitmuo yra pateikiamas kartu su jo lygiavertiškumu dvejetainėje sistemoje, susidedančioje iš keturių skaitmenų.

Kai kuriais atvejais dvejetainis skaičius neturės 4 bitų grupių; ją užpildyti, pridėkite vieną arba du nulius į kairę nuo pirmos grupės