Moivro teorema: kas tai apima, demonstravimas ir pratimai

Moivre teorema taikoma pagrindiniams algebros procesams, tokiems kaip galios ir šaknų išgavimas sudėtingais skaičiais. Teoremą įvardijo garsus prancūzų matematikas Abraomas de Moivre (1730), kuris susiejo sudėtingus skaičius su trigonometrija.

Abraomas Moivre šią asociaciją padarė per krūtinės ir kosinijos išraiškas. Šis matematikas sukūrė formą formulę, per kurią galima padidinti kompleksinį skaičių za, galios n, kuris yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis arba lygus 1.

Kas yra Moivre teorema?

Moivre teorema nurodo:

Jei mes turime kompleksinį skaičių poline forma z = r _Ɵ, kur r yra komplekso skaičiaus z modulis, o kampas Ɵ vadinamas bet kurio komplekso skaičiaus amplitude arba argumentu su 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, apskaičiuojant jo n- Ši galia nebus reikalinga, kad ją padaugintumėte n-kartus; tai yra, nebūtina gaminti šio produkto:

Zn = z _* z _* z _*. _, _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _, _{. *} r-n-kartus.

Priešingai, teorema sako, kad rašant z jo trigonometrine forma, apskaičiuojant n-ą galią, mes elgiamės taip:

Jei z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), tada zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Pavyzdžiui, jei n = 2, tada z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jei turite, kad n = 3, tada z3 = z2 _* z. Be to:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tokiu būdu sinusinio ir kosininio trigonometriniai santykiai gali būti gauti daugelio kampų atžvilgiu, jei yra žinomi kampo trigonometriniai santykiai.

Tokiu pačiu būdu jis gali būti naudojamas siekiant rasti tikslesnes ir mažiau painias išraiškas, susijusias su komplekso skaičiaus z šaknimi, kad zn = 1.

Norėdami parodyti Moivre teoremą, naudojamas matematinio indukcijos principas: jei sveikasis skaičius "a" turi savybę "P", ir jei visam sveikam skaičiui "n" didesnis nei "a" su nuosavybe "P" tenkina, kad n + 1 taip pat turi savybę "P", todėl visi sveikieji skaičiai, didesni arba lygūs "a", turi nuosavybę "P".

Demonstravimas

Tokiu būdu teoremo įrodymas atliekamas atlikus šiuos veiksmus:

Indukcinė bazė

Pirmasis patikrinimas n = 1.

Kaip z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)], turime kad n = 1 teorema yra įvykdyta.

Indukcinė hipotezė

Daroma prielaida, kad formulė tinka kai kuriems teigiamiems sveikiesiems skaičiams, ty n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Tikrinimas

Paaiškėjo, kad tai tiesa n = k + 1.

Nuo zk + 1 = zk _* z, tada zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ),

Tada išraiškos dauginamos:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

Kol kas nepaisoma koeficiento rk + 1, o bendras i faktorius yra išskiriamas:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ) _* .

Kaip i2 = -1, mes jį pakeisime ir mes gauname:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Dabar užsakoma tikroji ir įsivaizduojama dalis:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

Siekiant supaprastinti išraišką, taikomos kosinino ir sinuso kampų trigonometrinės tapatybės, kurios yra:

cos (A + B) = cos A _* cos B - nuodėmė A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Tokiu atveju kintamieji yra kampai Ɵ ir kƟ. Taikant trigonometrines tapatybes, turime:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Tokiu būdu išraiška išlieka:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Taigi galima parodyti, kad rezultatas tinka n = k + 1. Matematinio indukcijos principu daroma išvada, kad rezultatas tinka visiems teigiamiems sveikiesiems skaičiams; tai yra, n ≥ 1.

Bendras neigiamas

Moivre teorema taip pat taikoma, kai n ≤ 0. Apsvarstykite neigiamą sveikąjį skaičių «n»; tada „n“ gali būti parašytas kaip „-m“, tai yra, n = -m, kur „m“ yra teigiamas sveikasis skaičius. Todėl:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

Norint teigiamai gauti eksponento „m“, išraiška parašyta atvirkščiai:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Dabar naudojama, jei z = a + b * i yra kompleksinis numeris, tada 1 ÷ z = ab * i. Todėl:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Naudojant cos (x) = cos (-x) ir kad -sen (x) = sin (-x), turime:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Tokiu būdu galima teigti, kad teorema taikoma visoms „n“ sveikojo skaičiaus reikšmėms.

Išspręstos pratybos

Teigiamų galių apskaičiavimas

Viena iš operacijų su sudėtingais skaičiais poline forma yra dauginimas tarp dviejų iš jų; tokiu atveju moduliai dauginami ir argumentai pridedami.

Jei turite du kompleksinius numerius z _{1 ir} z ₂ ir norite apskaičiuoti (z ₁ * z ₂ ) 2, atlikite šiuos veiksmus:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

Taikoma paskirstymo nuosavybė:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ),

Jie suskirstyti į grupes, vartojant terminą „i“ kaip bendrą išraiškos veiksnį:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

Kaip i2 = -1, jis pakeičiamas žodžiu:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ]

Realieji terminai yra pergrupuoti tikrais ir įsivaizduojamais vaizdais:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ - sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Galiausiai taikomos trigonometrinės savybės:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Apibendrinant:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

1 pratimas

Įrašykite komplekso numerį poline forma, jei z = - 2 -2i. Tada, naudodami Moivre teoremą, apskaičiuokite z4.

Sprendimas

Komplekso numeris z = -2 -2i išreiškiamas stačiakampio formos z = a + bi, kur:

a = -2.

b = -2

Žinant, kad polinė forma yra z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), turime nustatyti modulio «r» vertę ir argumento «value» vertę. Kaip r = √ (a² + b²), nurodytos vertės pakeičiamos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Tada, norint nustatyti „Ɵ“ vertę, taikoma stačiakampio formos forma, kurią sudaro formulė:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Nuo tan (Ɵ) = 1 ir jūs turite <0, tada turite:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kadangi "r" ir "Ɵ" vertė jau buvo gauta, komplekso numeris z = -2 -2i gali būti išreikštas poline forma, pakeičiant vertes:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Dabar „Moivre“ teorema naudojama apskaičiuoti z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

2 pratimas

Raskite kompleksinių numerių produktą, išreiškiant jį poline forma:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Tada apskaičiuokite (z1 * z2) ².

Sprendimas

Pirmiausia suformuojamas nurodytas skaičius:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Tada padauginkite modulius ir pridėkite argumentus:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

Sąvoka supaprastinta:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

Galiausiai taikoma „Moivre“ teorija:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Neigiamų galių apskaičiavimas

Norėdami padalinti du kompleksinius skaičius z _{1 ir} z ₂ į poliarinę formą, modulis yra padalintas ir argumentai atimami. Taigi koeficientas yra z ₁ ÷ z ₂ ir išreiškiamas taip:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ )]).

Kaip ir ankstesniu atveju, jei norite apskaičiuoti (z1 ÷ z2) ³, pirmiausia padalinys padalijamas ir tada naudojama „Moivre“ teorema.