Matematinė logika: kilmė, kokie tyrimai, tipai

Matematinė logika arba simbolinė logika yra matematinė kalba, apimanti būtinas priemones, kuriomis galima patvirtinti arba atmesti matematinius argumentus.

Gerai žinoma, kad matematikos srityje nėra dviprasmybių. Matematinis argumentas yra pagrįstas arba tiesiog nėra. Tuo pačiu metu jis negali būti klaidingas ir teisingas.

Ypatingas matematikos aspektas yra tai, kad ji turi oficialią ir griežtą kalbą, kuria remiantis galima nustatyti pagrįstumo pagrįstumą. Koks yra tam tikras motyvavimas ar matematinis įrodymas, kuris yra neginčytinas? Tai yra matematinė logika.

Taigi, logika yra matematikos disciplina, kuri yra atsakinga už matematinių samprotavimų ir demonstracijų tyrimą, ir suteikia priemones, leidžiančias daryti išvadą dėl teisingos išvados iš ankstesnių pareiškimų ar pasiūlymų.

Tam reikia naudoti aksiomas ir kitus matematinius aspektus, kurie bus sukurti vėliau.

Kilmė ir istorija

Tikslios matematinės logikos aspektų datos yra neaiškios. Tačiau dauguma bibliografijų šiuo klausimu nurodo jo kilmę senovės Graikijoje.

Aristotelis

Griežtos logikos gydymo pradžia yra iš dalies priskirta Aristoteliui, kuris parašė logikos kūrinių rinkinį, kurį vėliau iki viduramžių surinko ir sukūrė įvairūs filosofai ir mokslininkai. Tai galėtų būti laikoma „senąja logika“.

Tada, žinoma kaip šiuolaikinis amžius, Leibnizas, judantis giliu noru sukurti universalią kalbą matematiškai, ir kiti matematikai, tokie kaip Gottlob Frege ir Giuseppe Peano, labai paveikė matematinės logikos kūrimą su dideliais įnašais tarp jų, „Peano Axioms“, kurios suformuluoja būtinas natūralių skaičių savybes.

Šiuo metu matematikai George Boole ir Georg Cantor taip pat turėjo didelę įtaką, nes jie labai prisidėjo prie teorijos ir tiesos lentelių, be kitų aspektų, pabrėždami Būlio Algebra (George Boole) ir pasirinkimo aksiomą (George Cantor)

Taip pat yra Augustas De Morganas su gerai žinomais Morgano įstatymais, kurie numato atsisakymus, ryšius, disjunkcijas ir sąlygą tarp pasiūlymų, raktų, skirtų simbolinės logikos kūrimui, ir Johną Venną su garsiomis Venno diagramomis.

XX a., Maždaug nuo 1910 iki 1913 m., Pabrėžė Bertrandą Russellą ir Alfredą North Whiteheadą su savo „ Principia mathematica“, knygų rinkiniu, kuris renka, kuria ir postuliuoja eilę aksiomų ir loginių rezultatų.

Ką matuoja matematinė logika?

Pasiūlymai

Matematinė logika prasideda nuo pasiūlymų analizės. Pasiūlymas yra patvirtinimas, kad be jokio dviprasmiškumo galima pasakyti, ar tai tiesa. Toliau pateikiami pavyzdžiai:

2 + 4 = 6.
52 = 35.
1930 m. Europoje įvyko žemės drebėjimas.

Pirmasis yra tikras pasiūlymas, o antrasis - klaidingas pasiūlymas. Trečias, nors ir įmanoma, kad asmuo, kuris skaito jį nežino, ar tai tiesa ar iš karto, tai yra pareiškimas, kurį galima patikrinti ir nustatyti, ar jis tikrai įvyko, ar ne.

Toliau pateikiami išraiškų, kurie nėra pasiūlymai, pavyzdžiai:

Ji yra blondinė.
2x = 6
Leiskite žaisti!
Ar jums patinka filmai?

Pirmajame pasiūlyme nenurodyta, kas ji yra, todėl nieko negalima patvirtinti. Antrajame pasiūlyme nenurodyta, kas yra „x“. Jei vietoj to buvo pasakyta, kad kai kuris natūralus skaičius x yra 2x = 6, šiuo atveju jis atitiktų pasiūlymą, iš tiesų tiesa, nes x = 3 jis įvykdytas.

Paskutiniai du teiginiai neatitinka pasiūlymo, nes nėra galimybės jų paneigti ar patvirtinti.

Dvi ar daugiau pasiūlymų galima derinti (arba prijungti), naudojant žinomas jungiamojo jungtis (arba jungtis). Tai yra:

Neteisinimas: „Tai ne lietus“.
Disjunkcija: "Luisa nusipirko baltą arba pilką maišelį".
Sąsaja: "42 = 16 ir 2 × 5 = 10".
Sąlyga: "Jei lietus, tai aš po pietų ne einu į sporto salę."
Biconditional: „Šią popietę einu į treniruoklių salę ir tik tuo atveju, jei jis nevirsta“.

Pasiūlymas, kuris neturi jokio ankstesnio jungiamojo, vadinamas paprastu pasiūlymu (arba atominiu). Pavyzdžiui, „2 yra mažesnis nei 4“, tai paprastas pasiūlymas. Pasiūlymai, turintys tam tikrą jungiamąjį ryšį, vadinami sudėtiniais pasiūlymais, pavyzdžiui, „1 + 3 = 4 ir 4 yra lygus skaičius“.

Pareiškimuose pateikti pareiškimai paprastai būna ilgi, todėl juos visuomet sunku rašyti, kaip matėme iki šiol. Dėl šios priežasties naudojama simbolinė kalba. Pasiūlymai paprastai yra didžiosios raidės, pvz., P, Q, R, S ir kt. Ir simbolinė jungtis tokia:

Taigi

Sąlyginio pasiūlymo abipusiškumas

yra pasiūlymas

Ir pasiūlymo kontrapozityvus (arba prieštaringas)

yra pasiūlymas

Tiesos lentelės

Kita svarbi logikos samprata yra tiesos lentelės. Pasiūlymo tiesos vertybės yra dvi galimybės, kurias mes turime pasiūlymui: tiesa (kuri bus pažymėta V ir mes sakysime, kad jo tiesos vertė yra V) arba klaidinga (kuri bus pažymėta F ir bus pasakyta, kad jos vertė bus tai iš tikrųjų yra F).

Sudėtinės kompozicijos tiesos vertė priklauso tik nuo jame esančių paprastų pasiūlymų tiesos vertybių.

Norint dirbti plačiau, mes neatsižvelgsime į konkrečius pasiūlymus, bet siūlomus kintamuosius p, q, r, s ir tt, kurie atstovaus bet kokius pasiūlymus.

Naudojant šiuos kintamuosius ir loginius junginius, gerai žinomos formulės formuluojamos taip, kaip sudaromos sudėtinės formuluotės.

Jei kiekvienas kintamasis, rodomas pasiūlymo formulėje, pakeičiamas pasiūlymu, gaunamas sudėtinis pasiūlymas.

Toliau pateikiamos loginių jungčių tiesos lentelės:

Yra siūlymų formulės, kurios gauna tik V vertę savo tiesos lentelėje, ty paskutinė jų tiesos lentelės skiltis turi tik V vertę. Tokios formulės yra žinomos kaip tautologijos. Pavyzdžiui:

Toliau pateikiamas formulės tiesos lentelė

Sakoma, kad formulė α logiškai reiškia kitą formulę β, jei α yra tiesa, kiekvieną kartą β yra tiesa. Tai reiškia, kad α ir β tiesos lentelėse eilutėse, kuriose α turi V, β, taip pat yra V. Tik eilutės, kuriose α turi reikšmę V, yra svarbios. :

Toliau pateiktoje lentelėje apibendrinamos loginės reikšmės savybės:

Sakoma, kad dvi formuluotės yra logiškai lygiavertės, jei jų tiesos lentelės yra identiškos. Loginis lygiavertiškumas išreiškiamas taip:

Toliau pateikiamose lentelėse apibendrintos loginio lygiavertiškumo savybės:

Matematinės logikos tipai

Yra įvairių rūšių logika, ypač jei atsižvelgiama į pragmatišką ar neoficialią logiką, kuri rodo filosofiją, be kitų sričių.

Kalbant apie matematiką, logikos tipai gali būti apibendrinti taip:

Formali aristotelinė logika (senoji logika).
Propozicinė logika: yra atsakingas už visų dalykų, susijusių su argumentų ir pasiūlymų pagrįstumu naudojant oficialią ir simbolinę kalbą, tyrimą.
Simbolinė logika: sutelktas į rinkinių ir jų savybių tyrimą, taip pat su oficialiąja ir simboline kalba, ir yra glaudžiai susijęs su siūloma logika.
Kombinatorinė logika: vienas iš naujausių kūrinių apima rezultatus, kuriuos galima sukurti algoritmais.
Loginis programavimas: naudojamas įvairiuose paketuose ir programavimo kalbose.

Sritys

Tarp sričių, kuriose matematinė logika yra nepakeičiama kuriant savo argumentus ir argumentus, jie pabrėžia filosofiją, teorijos teoriją, skaičių teoriją, konstruktyvią algebrinę matematiką ir programavimo kalbas.