Varignono teorema: pavyzdžiai ir išspręstos pratybos

Varignono teorema teigia, kad jei bet kuriame keturšaliame krašte pusių taškai yra nuolat sujungti, sukuriama lygiagretė. Šią teoriją parengė Pierre Varignon ir paskelbė 1731 m. Knygoje „Matematikos elementai “.

Knygos paskelbimas įvyko po metų mirties. Kadangi Varinjonas buvo tas, kuris pristatė šią teoriją, jo vardu pavadinta lygiagretė. Teorija pagrįsta Euklido geometrija ir pateikia geometrinius santykius su kvadraterialais.

Kas yra Varignono teorema?

Varignonas teigė, kad figūra, kurią apibrėžia keturkampio vidurys, visada sukels lygiagretę, o jos plotas visada bus pusė kvadrato ploto, jei ji yra plokščia ir išgaubta. Pavyzdžiui:

Paveiksle mes matome keturšalę su X zona, kurioje šonų viduryje yra E, F, G ir H, o kai jie yra sujungti, sudaro lygiagretę. Keturkampio plotas bus susidariusių trikampių plotų suma, o pusė jos atitinka lygiagretės plotą.

Kadangi lygiagretės plotis yra pusė kvadrato ploto, galima nustatyti to lygiagretės perimetrą.

Taigi perimetras yra lygus keturkampių įstrižainių ilgių sumai; tai yra dėl to, kad keturšalės mediana bus lygiagretės įstrižainė.

Kita vertus, jei keturkampio įstrižainių ilgiai yra tokie patys, lygiagretė bus deimantas. Pavyzdžiui:

Iš paveikslo matyti, kad, sujungiant keturkampio šonų vidurinius taškus, gaunamas rombas. Kita vertus, jei keturkampio įstrižainės yra statmenos, lygiagretė bus stačiakampis.

Taip pat lygiagretė bus kvadratas, kai keturkampis turi tą patį ilgį ir taip pat statmenas.

Teorema ne tik įvyksta plokščiuose kvadratiniuose, bet taip pat įgyvendinama erdvinėje geometrijoje arba dideliais matmenimis; tai yra, tiems keturkampiams, kurie nėra išgaubti. Pavyzdžiui, tai gali būti oktaedras, kuriame vidurio taškai yra kiekvieno veido centridai ir sudaro lygiagretųjį rampą.

Tokiu būdu, sujungiant skirtingų figūrų vidurinius taškus, galima gauti lygiagretės. Paprastas būdas patikrinti, ar tai tiesa, yra tai, kad priešingos pusės turi būti lygiagrečios, kai jos yra ilgesnės.

Pavyzdžiai

Pirmasis pavyzdys

Kitų pusių pailginimas siekiant parodyti, kad tai yra lygiagretė:

Antrasis pavyzdys

Prisijungdami prie deimanto vidurinių taškų gauname stačiakampį:

Teorija naudojama taškų, esančių kvadrato pusių viduryje, sąjungoje, taip pat gali būti naudojama kitų tipų taškams, pvz., Trimatėje dalyje, pentos sekcijoje arba netgi begalinėje sekcijų dalyje ( nth), siekiant padalinti bet kokio keturkampio puses į proporcingas dalis.

Išspręstos pratybos

1 pratimas

Šiame paveiksle yra kvadratinė ZCD zonos ABCD, kurioje šio krašto vidurys yra PQSR. Patikrinkite, ar suformuota Varignono lygiagretė.

Sprendimas

Galima patikrinti, ar, jungiantis PQSR taškus, suformuojama Varignono lygiagretė, būtent todėl, kad pareiškime pateikiami kvadrato viduriniai taškai.

Norėdami tai įrodyti, PQSR viduriniai taškai yra vieningi, todėl galima matyti, kad susidaro dar vienas keturkampis. Norint parodyti, kad tai yra lygiagretė, mes turime nubrėžti tiesią liniją nuo taško C iki taško A, kad galėtume matyti, kad CA yra lygiagreti PQ ir RS.

Panašiai, plečiant PQRS šonus, galima pažymėti, kad PQ ir RS yra lygiagrečios, kaip parodyta sekančiame paveikslėlyje:

2 pratimas

Jame yra stačiakampis, kad visų jo pusių ilgis yra lygus. Sujungus šių pusių vidurio taškus, susidaro rombas ABCD, padalintas iš dviejų įstrižainių AC = 7cm ir BD = 10cm, kurie sutampa su stačiakampio šonų matavimais. Nustatykite deimantinius ir stačiakampius plotus.

Sprendimas

Prisimindami, kad gautos lygiagretės plotas yra pusė kvadrato, galite nustatyti jų plotą, žinodami, kad įstrižainių matas sutampa su stačiakampio šonais. Taigi jūs turite:

AB = D

CD = d

_{Stačiakampis} = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm2

_Deimantas = _{stačiakampis} / 2

_Rombas = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

3 pratimas

Šiame paveiksle yra keturkampis, turintis punktų EFGH sąjungą, pateikiami segmentų ilgiai. Nustatykite, ar EFGH surišimas yra lygiagretė.

AB = 2, 4 CG = 3, 06

EB = 1, 75 GD = 2.24

BF = 2, 88 DH = 2, 02

FC = 3, 94 HA = 2, 77

Sprendimas

Atsižvelgiant į segmentų ilgį, galima patikrinti, ar segmentai yra proporcingi; tai yra, mes galime žinoti, ar jie yra lygiagrečiai, susiejant keturkampio segmentus taip:

- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37

- AH / HD = 2, 77 / 2, 02 = 1, 37

- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37

- CG / GD = 3, 06 / 2, 24 = 1, 37

Tada patikrinamas proporcingumas, nes:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Panašiai, brėžiant liniją nuo taško B iki D taško, matome, kad EH yra lygiagreti BD, kaip ir BD lygiagrečiai su FG. Kita vertus, EF yra lygiagreti GH.

Tokiu būdu galima nustatyti, kad EFGH yra lygiagretė, nes priešingos pusės yra lygiagrečios.