Kas yra trigonometriniai ribos? (su išspręstais pratimais)

Trigonometrinės ribos yra tokių funkcijų ribos, kad šias funkcijas sudaro trigonometrinės funkcijos.

Yra du apibrėžimai, kurie turi būti žinomi, kad būtų galima suprasti, kaip atliekamas trigonometrinės ribos apskaičiavimas.

Šie apibrėžimai yra:

- funkcijos „f“ riba, kai „x“ linkusi „b“: ji apskaičiuojama pagal vertę, kuria f (x) artėja prie «x», artėjant «b», nesiekiant «b» »

- Trigonometrinės funkcijos: trigonometrinės funkcijos yra sinusinės, kosininės ir liestinės funkcijos, žymimos atitinkamai sin (x), cos (x) ir tan (x).

Kitos trigonometrinės funkcijos gaunamos iš trijų pirmiau minėtų funkcijų.

Funkcijų ribos

Norėdami paaiškinti funkcijos ribos sąvoką, bus pateikti keli pavyzdžiai su paprastomis funkcijomis.

- f (x) = 3 riba, kai „x“ linkęs į „8“ yra lygi «3», nes funkcija visada yra pastovi. Nesvarbu, kiek „x“ yra verta, f (x) vertė visada bus „3“.

- f (x) = x-2 riba, kai «x» link «6» yra «4». Kadangi kai „x“ artėja prie «6», tada „x-2“ artėja prie «6-2 = 4».

- g (x) = x² riba, kai «x» link «3» yra lygi 9, nes kai „x“ artėja prie „3“, tada „x²“ artėja prie «3² = 9»,

Kaip matyti iš ankstesnių pavyzdžių, skaičiuojant ribą, vertinama vertė, kuriai „x“ yra funkcija, ir rezultatas bus ribos vertė, nors tai yra tik tęstinių funkcijų atveju.

Ar yra sudėtingesnių apribojimų?

Atsakymas yra „taip“. Pirmiau pateikti pavyzdžiai yra paprasčiausi apribojimų pavyzdžiai. Apskaičiuotose knygose pagrindiniai apribojimai yra tie, kurie sukuria 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ir (∞) tipo neapibrėžtumą ^ 0.

Šios išraiškos vadinamos neapibrėžtimis, nes jos yra išraiškos, kurios matematiškai neturi reikšmės.

Be to, priklausomai nuo pradinėje riboje numatytų funkcijų, rezultatas, gautas sprendžiant neapibrėžtumus, kiekvienu atveju gali skirtis.

Paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžiai

Norint išspręsti ribas, visada naudinga žinoti susijusių funkcijų grafikus. Toliau pateikiami sinusinių, kosininių ir liestinių funkcijų grafikai.

Keletas paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžių:

- Apskaičiuokite sin (x) ribą, kai „x“ linkęs į „0“.

Kai matote grafiką, matysite, kad jei „x“ artėja prie „0“ (tiek kairėje, tiek dešinėje), tuomet sinuso grafikas artėja prie „0“. Todėl sin (x) riba, kai „x“ linkusi „0“, yra «0».

- Apskaičiuokite cos (x) ribą, kai „x“ linkęs į „0“.

Stebint kosinuso grafiką, matyti, kad kai "x" yra arti "0", tada kosininis grafikas yra artimas "1". Tai reiškia, kad „cos“ (x) riba, kai „x“ linkusi „0“, yra lygi «1».

Galima nustatyti ribą (būti skaičiumi), kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, tačiau taip pat gali atsitikti taip, kad jis neegzistuoja, kaip parodyta sekančiame pavyzdyje.

- Tan (x) riba, kai „x“ linkęs į „Π / 2“ kairėje, yra lygi «+ ∞», kaip matyti grafike. Kita vertus, „tan“ (x) riba, kai „x“ linkęs į „-Π / 2“ dešinėje, yra lygi «-∞».

Trigonometrinių ribų tapatybės

Du labai naudingi identitetai apskaičiuojant trigonometrines ribas:

- „sin (x) / x“ riba, kai „x“ linkusi „0“, yra lygi «1».

- „(1-cos (x)) / x» riba, kai „x“ linkusi „0“, yra lygi «0».

Šie identitetai naudojami labai dažnai, kai yra tam tikras neapibrėžtumas.

Išspręstos pratybos

Išsiaiškinkite šias ribas, naudodamiesi anksčiau aprašytais identitetais.

- Apskaičiuokite «f (x) = sin (3x) / x» ribą, kai „x“ linkęs į „0“.

Jei funkcija «f» vertinama «0», bus gautas 0/0 tipo neapibrėžtumas. Todėl mes turime stengtis išspręsti šį neapibrėžtumą naudodami apibūdintus identitetus.

Vienintelis skirtumas tarp šios ribos ir tapatybės yra skaičius, kuris pasirodo sinusinėje funkcijoje. Norint taikyti tapatybę, funkcija „f (x)“ turi būti perrašyta taip: „3 * (sin (3x) / 3x)». Dabar ir sinuso argumentas, ir vardiklis yra vienodi.

Taigi, kai „x“ linkęs į „0“, naudojant tapatybės rezultatus «3 * 1 = 3». Todėl f (x) riba, kai „x“ linkusi „0“, yra lygi «3».

- Apskaičiuokite «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» ribą, kai «x» linkusi į «0».

Kai „x = 0“ yra pakeista g (x), gaunamas ∞-∞ tipo neapibrėžtumas. Norint ją išspręsti, frakcijos yra atimamos, todėl gaunamas rezultatas «(1-cos (x)) / x».

Dabar, taikant antrąjį trigonometrinį identitetą, mes turime g (x) ribą, kai «x» linkęs į «0» yra lygus 0.

- Apskaičiuokite «h (x) = 4tan (5x) / 5x» ribą, kai „x“ linkęs į „0“.

Vėlgi, jei h (x) yra vertinamas «0», bus gautas 0/0 tipo neapibrėžtumas.

Perkrauti įdegį (5x) kaip sin (5x) / cos (5x) rezultatus h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Naudojant 4 / cos (x) ribą, kai «x» linkęs į «0», yra lygus «4/1 = 4», o pirmasis trigonometrinis tapatumas - tai, kad h (x) riba yra „x“ «0» yra lygus «1 * 4 = 4».