Skaičiavimo metodai: pagrindiniai metodai, programos ir pavyzdžiai

Skaičiavimo metodai yra tikimybės metodų, kuriais galima suskaičiuoti galimą susitarimų skaičių rinkinyje arba keliuose objektų rinkiniuose, serija. Jie naudojami, kai sąskaitos rankiniu būdu tampa sudėtingos dėl didelio objektų ir (arba) kintamųjų skaičiaus.

Pavyzdžiui, šios problemos sprendimas yra labai paprastas: įsivaizduokite, kad jūsų viršininkas paprašys suskaičiuoti paskutinius produktus, kurie atvyko per paskutinę valandą. Tokiu atveju galite vienas po kito eiti ir suskaičiuoti produktus.

Tačiau įsivaizduokite, kad problema yra tokia: jūsų viršininkas paprašys jūsų suskaičiuoti, kiek penkių tos pačios rūšies produktų grupių galima sujungti su tais, kurie atvyko į paskutinę valandą. Tokiu atveju skaičiavimas tampa sudėtingas. Tokios situacijos atveju naudojamos vadinamosios skaičiavimo metodikos.

Šie metodai yra keli, tačiau svarbiausi yra suskirstyti į du pagrindinius principus, kurie yra dauginamieji ir priedai; permutacijos ir deriniai.

Daugkartinis principas

Programos

Kartotinis principas, kartu su priedu, yra pagrindinė priemonė suprasti skaičiavimo metodų veikimą. Dauginamojo atveju tai susideda iš:

Įsivaizduokite veiklą, apimančią tam tikrą žingsnių skaičių (bendras skaičius pažymėtas kaip "r"), kur pirmasis žingsnis gali būti sudarytas iš N1 formų, antrasis N2 etapas ir Nr formų "r" žingsnis. Tokiu atveju veikla gali būti atliekama iš formų, gautų atlikus šią operaciją: N1 x N2 x .......... x Nr formos

Štai kodėl šis principas vadinamas dauginamuoju ir reiškia, kad kiekvienas veiksmas, reikalingas veiklai vykdyti, turi būti atliekamas vienas po kito.

Pavyzdys

Įsivaizduokime asmenį, kuris nori statyti mokyklą. Tam manau, kad pastato pagrindas gali būti pastatytas dviem skirtingais būdais: cementu ar betonu. Kaip sienos, jos gali būti pagamintos iš Adobe, cemento ar plytų.

Dėl stogo, jis gali būti pagamintas iš cemento arba cinkuoto lakšto. Galiausiai, galutinis paveikslas gali būti atliekamas tik vienu būdu. Kyla toks klausimas: kiek mokyklų turi sukurti būdus?

Pirma, atsižvelgiame į žingsnių skaičių, kuris būtų pagrindas, sienos, stogas ir tapyba. Iš viso 4 žingsniai, ty r = 4.

Toliau pateikiamas sąrašas N:

N1 = būdai statyti bazę = 2

N2 = sienų kūrimo būdai = 3

N3 = būdai stogui padaryti = 2

N4 = dažų gamybos būdai = 1

Todėl galimų formų skaičius būtų apskaičiuojamas pagal pirmiau aprašytą formulę:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 būdų mokytis.

Priedo principas

Programos

Šis principas yra labai paprastas ir susideda iš to, kad esamos kelios alternatyvos toje pačioje veikloje yra galimos įvairių formų, kaip realizuoti visas alternatyvas, sumos.

Kitaip tariant, jei norime vykdyti veiklą su trimis alternatyvomis, kai pirmoji alternatyva gali būti padaryta M formomis, antroji - N formos ir paskutinis - W formos, veikla gali būti sudaryta iš: M + N + ......... + W formos.

Pavyzdys

Įsivaizduokite šį kartą asmenį, kuris nori nusipirkti teniso raketę. Tam yra trys prekės ženklai: Wilson, Babolat arba Head.

Kai jis eina į parduotuvę, jis mato, kad „Wilson“ raketę galima nusipirkti su dviejų skirtingų dydžių, L2 arba L3 rankena keturiais skirtingais modeliais ir gali būti suverpti arba be styginių.

Kita vertus, „Babolat“ raketė turi tris rankenas (L1, L2 ir L3), yra du skirtingi modeliai ir taip pat gali būti suverpti arba be styginių.

Kita vertus, „Head“ lakas yra tik su viena rankena, „L2“, dviem skirtingais modeliais ir tik be styginių. Kyla klausimas: kiek šis asmuo turi nusipirkti savo raketę?

M = Wilson raketės pasirinkimo būdų skaičius

N = „Babolat“ raketės pasirinkimo būdų skaičius

W = galimų raketų pasirinkimo būdų skaičius

Mes nustatome daugiklio principą:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formų

N = 3 x 2 x 2 = 12 formų

W = 1 x 2 x 1 = 2 formos

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 būdų pasirinkti raketę.

Kad žinotumėte, kada naudoti dauginamąjį principą ir priedą, turite tik pažiūrėti, ar veikla turi būti atliekama, ir jei yra keletas alternatyvų, priedas.

Permutacijos

Programos

Norint suprasti, kas yra permutacija, svarbu paaiškinti, koks yra derinys, kad juos diferencijuotų ir žinotų, kada juos naudoti.

Derinys būtų elementų, kuriuose mes nesame suinteresuoti pozicija, kurią kiekvienas iš jų užima, išdėstymas.

Kita vertus, permutacija būtų elementų išdėstymas, kuriame mus domina padėtis, kurią kiekvienas iš jų užima.

Pateikiame pavyzdį, kaip geriau suprasti skirtumą.

Pavyzdys

Įsivaizduokite klasę su 35 studentais ir tokiomis situacijomis:

Mokytojas nori, kad trys jo mokiniai padėtų jam išlaikyti klasę švarią ar pristatyti medžiagą kitiems studentams, kai jam to reikia.
Mokytojas nori paskirti klasės atstovus (prezidentą, asistentą ir finansininką).

Sprendimas būtų toks:

Įsivaizduokite, kad balsuojant Juan, María ir Lucía yra pasirinktos valyti klasę arba pristatyti medžiagas. Akivaizdu, kad tarp 35 galimų studentų galėjo susidaryti kitos trys žmonių grupės.

Turime savęs paklausti: ar svarbu, kad kiekviena iš studentų užima jų pasirinkimo laiką?

Jei galvojame apie tai, matome, kad tai tikrai nėra svarbu, nes grupė abu užduotis rūpinsis vienodai. Šiuo atveju tai yra derinys, nes mes nesame suinteresuoti elementų padėtimi.

Dabar įsivaizduokite, kad Jonas yra išrinktas prezidentu, Marija kaip padėjėja ir Lucija kaip finansine.

Tokiu atveju, ar tai būtų svarbi? Atsakymas yra „taip“, nes jei pakeisime elementus, pasikeis rezultatas. Tai yra, jei vietoj to, kad Juanas būtų prezidentas, mes jį įdėjome kaip padėjėją, o Maria kaip prezidentą, galutinis rezultatas pasikeis. Šiuo atveju tai yra permutacija.

Supratus skirtumą, gausime permutacijų ir kombinacijų formules. Vis dėlto pirmiausia turime apibrėžti terminą „n!“ („Factorial“), nes jis bus naudojamas įvairiose formulėse.

n! = produktas nuo 1 iki n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... ..x n

Naudojant jį su realiais skaičiais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3, 628, 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

Permutacijų formulė būtų tokia:

nPr = n! / (nr)!

Su juo galime išsiaiškinti tvarką, kurioje užsakymas yra svarbus ir kur n elementai yra skirtingi.