Morgano įstatymai

Morgano akys“ yra išvados, vartojamos siūlomoje logikoje, taisyklės, kurios nustato, kas yra neigiamos disjunkcijos ir pasiūlymų arba siūlymų kintamųjų sąsajos rezultatas. Šiuos įstatymus apibrėžė matematikas Augustus De Morgan.

Morgano įstatymai yra labai naudinga priemonė matematinio argumentavimo pagrįstumui įrodyti. Vėliau jie buvo apibendrinti matematiko George'o Boole rinkinių koncepcijoje.

Šis Boole pateiktas apibendrinimas yra visiškai lygiavertis pradiniams Morgano įstatymams, tačiau jis sukurtas specialiai rinkiniams, o ne pasiūlymams. Šis apibendrinimas taip pat žinomas kaip Morgano įstatymai.

Siūlomos logikos peržiūra

Prieš žvelgiant į tai, ką Morgano įstatymai yra konkrečiai ir kaip jie naudojami, patogu prisiminti kai kurias pagrindines sąvokų formulavimo sąvokas. (Išsamesnės informacijos rasite straipsnyje apie siūlomą logiką).

Matematinio (arba siūlymo) logikos srityje išvada yra išvada, kuri yra išleista iš patalpų ar hipotezių. Ši išvada kartu su minėtomis patalpomis lemia matematinį argumentavimą.

Šį argumentavimą turi būti galima įrodyti arba paneigti; tai reiškia, kad ne visos matematinio argumentavimo išvados ar išvados galioja.

Fallacy

Klaidinga išvada, atsiradusi iš tam tikrų prielaidų, kurios laikomos teisingomis, vadinamos klaidingumu. Fallacies yra ypatingas argumentas, kad atrodo teisingi, bet matematiškai jie nėra.

Propozicinė logika yra atsakinga už tai, kad tiksliai būtų kuriami ir teikiami metodai, kuriais galima be jokių abejonių patvirtinti arba paneigti matematinį pagrindimą; tai reiškia, kad iš patalpų galima daryti pagrįstą išvadą. Šie metodai vadinami išvadų taisyklėmis, kurių dalis yra Morgano įstatymai.

Pasiūlymai

Pagrindiniai siūlomos logikos elementai yra pasiūlymai. Pasiūlymai yra teiginiai, apie kuriuos galima pasakyti, ar jie galioja, ar ne, bet tuo pačiu metu jie negali būti teisingi ar klaidingi. Šiuo klausimu neturėtų būti neaiškumų.

Kaip ir skaičių galima derinti pridedant, atimant, dauginant ir padalijus, teiginiai gali būti valdomi žinomais jungiamosiomis (arba jungtimis) loginėmis: neigimu (, „ne“), disjunkcija (V, "O"), jungtis (Ʌ, "ir"), sąlyginis (→, "jei ..., tada ...") ir dvigubas (↔, "taip, ir tik jei").

Norint dirbti apskritai, užuot svarstę konkrečius pasiūlymus, svarstome siūlomus kintamuosius, kurie atspindi bet kokius pasiūlymus, ir paprastai žymimi mažosiomis raidėmis p, q, r, s ir kt.

Siūloma formulė yra siūlomų kintamųjų derinys per kai kurias logines jungtis. Kitaip tariant, tai yra siūlomų kintamųjų sudėtis. Jie paprastai žymimi graikų raidėmis.

Sakoma, kad pasiūlymo formulė logiškai reiškia kitą, kai pastaroji yra teisinga kiekvieną kartą, kai pirmasis yra teisingas. Tai žymima:

Kai loginė implikacija tarp dviejų siūlymų formulių yra abipusiška - tai yra, kai ankstesnė reikšmė galioja ir priešinga kryptimi - formulės yra logiškai ekvivalentiškos, ir tai žymima

Loginis lygiavertiškumas yra tam tikra lygiateisiškumo formulių formulė ir leidžia, kai reikia, pakeisti kitą.

Morgano įstatymai

Morgano įstatymai susideda iš dviejų loginių lygiaverčių dviejų siūlomų formų, būtent:

Šie įstatymai leidžia atskirti disjunkcijos arba sąryšio neigimą, kaip susijusių su kintamųjų neigimus.

Pirmąjį galima perskaityti taip: disjunkcijos neigimas yra lygus neigimų deriniui. Antrasis taip sako: jungties neigimas yra neigimų disjunkcija.

Kitaip tariant, norint paneigti dviejų siūlomų kintamųjų disjunkciją, lygus abiejų kintamųjų neigimų derinys. Taip pat, norint paneigti dviejų siūlomų kintamųjų sąveiką, lygus abiejų kintamųjų neigimų disjunkcijai.

Kaip minėta anksčiau, šio loginio lygiavertiškumo pakeitimas padeda parodyti svarbius rezultatus kartu su kitomis esamomis išvadų taisyklėmis. Su jais galite supaprastinti daugelį siūlymų formulių, kad jie būtų naudingesni dirbti.

Toliau pateikiamas matematinio įrodymo pavyzdys, kuriame pateikiamos išvados, tarp šių Morgano įstatymų. Konkrečiai parodoma, kad formulė:

yra lygiavertis:

Pastaroji yra paprasčiau suprasti ir plėtoti.

Demonstravimas

Verta paminėti, kad Morgano įstatymų galiojimą galima įrodyti matematiškai. Vienas iš būdų yra lyginant tiesos lenteles.

Nustato

Tos pačios išvados taisyklės ir logika, vartojamos pasiūlymams, taip pat gali būti kuriamos atsižvelgiant į rinkinius. Tai yra žinoma kaip Būlio algebra, po matematiko George Boole.

Siekiant atskirti atvejus, būtina pakeisti žymėjimą ir perkėlimą į rinkinius, visas sąvokas, kurias jau matė pasiūlymo logika.

Rinkinys yra objektų rinkinys. Rinkiniai žymimi didžiosiomis raidėmis A, B, C, X, ir rinkinio elementai žymimi mažosiomis raidėmis a, b, c, x ir tt Kai elementas a priklauso X rinkiniui, jis žymimas:

Kai jis nepriklauso X, žymėjimas yra:

Kaip reprezentuoti rinkinius, jų elementai yra raktų viduje. Pvz., Natūralių skaičių rinkinį vaizduoja:

Rinkiniai taip pat gali būti reprezentuoti be raštiško jų elementų sąrašo. Jie gali būti išreikšti formoje {:}. Du taškai yra skaitomi „tokie, kad“. Kintamasis, vaizduojantis rinkinio elementus, yra išsidėstęs kairėje pusėje nuo dviejų taškų, o turtas ar būklė, kurią jie tenkina, išdėstomi dešinėje pusėje. Tai yra:

Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių rinkinys, didesnis nei -4, gali būti išreikštas kaip:

Arba lygiai taip pat ir sutrumpintai:

Panašiai šie terminai reiškia lygių ir nelyginių skaičių rinkinius:

Sąjunga, sankirtos ir rinkinių papildymai

Toliau matysime loginių jungčių analogus rinkinių atveju, kurie yra pagrindinių operacijų tarp rinkinių dalis.

Sąjunga ir sankirtos

Rinkimų sąjunga ir susikirtimas yra atitinkamai apibrėžti taip:

Pavyzdžiui, apsvarstykite rinkinius:

Tada turite:

Papildymas

Komplektą papildo elementai, kurie nepriklauso šiam rinkiniui (tokio paties tipo, kaip originalas). A rinkinio papildymas žymimas:

Pavyzdžiui, natūraliuose skaičiumi lygių skaičių rinkinio papildymas yra nelyginių skaičių ir atvirkščiai.

Norint nustatyti rinkinio papildymą, nuo pat pradžių turi būti aišku, kokie universalūs arba pagrindiniai elementai yra svarstomi. Pvz., Nėra lygu apsvarstyti racionalių rinkinių rinkinio papildymą.

Toliau pateiktoje lentelėje parodyta ryšys ar analogija tarp operacijų anksčiau apibrėžtais rinkiniais ir jungiamieji iš siūlomos logikos:

Morgano įstatymai rinkiniams

Galiausiai Morgano įstatymai dėl rinkinių yra:

Žodžiu: sąjungos papildymas yra papildų susikirtimas, o sankirtos papildymas yra papildų sąjunga.

Matematinis pirmosios lygybės įrodymas būtų toks:

Antrojo demonstravimas yra analogiškas.