Daugkartinis principas: skaičiavimo metodai ir pavyzdžiai
Daugiafunkcinis principas yra metodas, naudojamas sprendžiant skaičiavimo problemas, kad rastų sprendimą, nereikalaujant jo elementų. Jis taip pat žinomas kaip pagrindinis kombinatorinės analizės principas; jis grindžiamas nuosekliu dauginimu, siekiant nustatyti, kaip įvykis gali įvykti.
Šis principas nustato, kad jei sprendimas (d 1 ) gali būti priimtas n būdais, o kitas sprendimas (d 2 ) gali būti priimtas m būdais, bendras sprendimų priėmimo būdų skaičius d 1 ir d 2 bus lygus dauginti iš n * m. Pagal principą kiekvienas sprendimas priimamas vienas po kito: būdų skaičius = N 1 * N 2 ... * N x būdai.
Pavyzdžiai
1 pavyzdys
Paula planuoja aplankyti filmus su savo draugais ir pasirinkti drabužius, kuriuos ji dėvės, atskiriu 3 palaidines ir 2 sijonus. Kiek būdų Paula suknelė?
Sprendimas
Šiuo atveju Paula turi priimti du sprendimus:
d 1 = Pasirinkite iš trijų palaidinių = n
d 2 = Pasirinkite tarp 2 sijonų = m
Tokiu būdu Paula turi n * m sprendimus priimti ar skirtingus padažu.
n * m = 3 * 2 = 6 sprendimai.
Daugiafunkcinis principas kyla iš medžio diagramos technikos, kuri yra schema, susiejanti visus galimus rezultatus, kad kiekvienas galėtų pasitaikyti ribotą skaičių kartų.
2 pavyzdys
Mario buvo labai ištroškęs, todėl nuėjo į kepyklą, kad įsigytų sulčių. Luisas jam atsako ir pasakoja, kad jis turi du dydžius: didelius ir mažus; ir keturių skonių: obuolių, apelsinų, citrinų ir vynuogių. Kiek būdų Mario gali pasirinkti sultis?
Sprendimas
Diagramoje matyti, kad Mario turi 8 skirtingus būdus, kaip pasirinkti sultis, ir kad, kaip ir dauginamuoju principu, šis rezultatas gaunamas dauginant n * m. Vienintelis skirtumas yra tas, kad per šią diagramą galite žinoti, kaip yra būdai, kaip Mario pasirenka sulčių.
Kita vertus, kai galimų rezultatų skaičius yra labai didelis, praktiškiau naudoti dauginamąjį principą.
Skaičiavimo metodai
Skaičiavimo metodai yra metodai, naudojami tiesioginiam skaičiui sudaryti, ir todėl žino galimų priemonių, kurias gali turėti tam tikro rinkinio elementai, skaičių. Šie metodai yra pagrįsti keliais principais:
Papildymo principas
Šis principas teigia, kad tuo atveju, jei tuo pačiu metu negali įvykti du m ir n įvykiai, tai, kaip gali įvykti pirmasis ar antrasis įvykis, bus m + n suma:
Formų skaičius = m + n ... + x skirtingos formos.
Pavyzdys
Antonio nori išvykti į kelionę, bet nenusprendžia, į kurią vietą; Pietų turizmo agentūroje jie siūlo Jums reklamą keliauti į Niujorką arba Las Vegasą, o Rytų turizmo agentūra rekomenduoja keliauti į Prancūziją, Italiją ar Ispaniją. Kiek skirtingų kelionių alternatyvų siūlo Antonio?
Sprendimas
Su Pietų turizmo agentūra Antonio turi 2 alternatyvas (Niujorkas arba Las Vegasas), o Rytų turizmo agentūroje - 3 variantai (Prancūzija, Italija arba Ispanija). Įvairių alternatyvų skaičius yra:
Alternatyvų skaičius = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyvos.
Permutacijos principas
Kalbama apie visų ar kai kurių elementų, sudarančių rinkinį, užsakymą, siekiant palengvinti visų galimų priemonių, kurias galima atlikti su elementais, skaičiavimą.
N skirtingų elementų permutacijų skaičius, paimtas iš karto, yra:
n P n = n!
Pavyzdys
Keturi draugai nori fotografuoti ir nori sužinoti, kiek skirtingų formų galima užsisakyti.
Sprendimas
Jūs norite žinoti visus galimus būdus, kuriais galima priskirti 4 žmones fotografuoti. Taigi, jūs turite:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 skirtingos formos.
Jei n galimų elementų permutacijų skaičius yra paimtas iš r elementų sudarytų rinkinių dalių, jis yra pateikiamas kaip:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Pavyzdys
Klasėje yra 10 vietų. Jei klasėje dalyvaus 4 studentai, kiek skirtingais būdais studentai gali užimti pozicijas?
Sprendimas
Bendras kėdių rinkinio skaičius yra 10, iš jų tik 4 bus naudojamos, o formulė taikoma nustatant permutacijų skaičių:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 būdų užpildyti pozicijas.
Yra atvejų, kai kai kurie galimi rinkinio elementai kartojami (jie yra tie patys). Norint apskaičiuoti susitarimų skaičių, kai visi elementai vienu metu naudojami, naudojama tokia formulė:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
Pavyzdys
Kiek žodžių iš keturių raidžių gali būti sudarytas iš žodžio „vilkas“?
Sprendimas
Šiuo atveju mes turime 4 elementus (laiškus), iš kurių du iš jų yra vienodi. Taikant nurodytą formulę, žinome, kiek skirtingų žodžių yra:
n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 skirtingų žodžių.
Derinimo principas
Tai yra visų ar kai kurių elementų, sudarančių rinkinį, nustatymas be konkretaus užsakymo. Pvz., Jei turite XYZ masyvą, jis bus identiškas ZXY, YZX, ZYX matricoms, be kita ko; Taip yra todėl, kad, nepaisant to, kad jos nėra vienodos, kiekvieno susitarimo elementai yra vienodi.
Kai imami kai kurie rinkinio (n) elementai (r), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Pavyzdys
Parduotuvėje jie parduoda 5 skirtingus šokolado tipus. Kiek galite pasirinkti 4 šokoladus?
Sprendimas
Tokiu atveju turite pasirinkti 4 saldainius iš 5 parduotuvėje parduodamų rūšių. Jų pasirinkimo tvarka nėra svarbi, be to, šokolado tipą galima pasirinkti daugiau nei du kartus. Taikant formulę turite:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 skirtingi būdai pasirinkti 4 šokoladus.
Kai imami visi rinkinio (n) elementai (r), derinimo principas pateikiamas pagal šią formulę:
n C n = n!
Išspręstos pratybos
1 pratimas
Turite beisbolo komandą su 14 narių. Kiek būdų gali būti priskirtos 5 vietos žaidimui?
Sprendimas
Rinkinį sudaro 14 elementų ir norite priskirti 5 konkrečias pozicijas; tai yra, kad tvarka. Taikoma permutacijos formulė, kai n prieinami elementai yra paimti iš rinkinio, kurį sudaro r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Kur n = 14 ir r = 5. Jis yra pakeistas formule:
14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 būdų priskirti 9 žaidimo pozicijas.
2 pratimas
Jei 9 narių šeima vyksta kelionėje ir perka savo bilietus iš eilės, kiek skirtingų būdų jie gali sėdėti?
Sprendimas
Ją sudaro 9 elementai, kurie užims 9 vietas iš eilės.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 skirtingi sėdėjimo būdai.
