Analitinės geometrijos istorija

Analitinės geometrijos istorinis pagrindas tęsiasi XVII a., Kai Pierre de Fermat ir René Descartes apibrėžė savo pagrindinę idėją. Jo išradimas sekė algebros modernizavimu ir François Viète algebrine žyme.

Šis laukas yra senovės Graikijoje, ypač Apolloniaus ir Euklido darbuose, kurie turėjo didelę įtaką šioje matematikos srityje.

Svarbiausia analitinės geometrijos idėja yra tai, kad ryšys tarp dviejų kintamųjų, kad vienas būtų kitos funkcijos, apibrėžia kreivę.

Šią idėją pirmą kartą sukūrė Pierre de Fermat. Šios pagrindinės sistemos dėka Isaac Newton ir Gottfried Leibniz galėjo sukurti skaičiavimus.

Prancūzų filosofas Descartes taip pat atrado algebrinį požiūrį į geometriją, matyt pats. Descarteso darbas apie geometriją pasirodo savo garsiojoje knygoje „ diskursas apie metodą“ .

Šioje knygoje pažymima, kad tiesių kraštų kompasas ir geometrinės konstrukcijos apima pridėjimą, atimimą, dauginimą ir kvadratines šaknis.

Analitinė geometrija - tai dviejų svarbių matematikos tradicijų sąsaja: geometrija kaip formos tyrimas, aritmetika ir algebra, kurie susiję su kiekiu ar skaičiais. Todėl analitinė geometrija yra geometrijos srities tyrimas, naudojant koordinačių sistemas.

Istorija

Analitinės geometrijos pagrindas

Santykis tarp geometrijos ir algebros išsivystė per visą matematikos istoriją, nors geometrija anksčiau pasiekė brandos laipsnį.

Pavyzdžiui, graikų matematikas Euklidas savo klasikinėje knygoje „Elementai“ sugebėjo organizuoti daugybę rezultatų.

Bet tai buvo senovės graikų Apollonijus Pergoje, kuris numato analitinės geometrijos raidą savo knygoje „ Conics“ . Jis apibrėžė kūgį kaip kūgio ir plokštumos sankirtą.

Naudodamas Euklido rezultatus panašiuose trikampiuose ir apskrito džiovinimuose, jis rado santykį, kurį suteikia atstumai nuo kūgio bet kurio taško "P" iki dviejų statmenų linijų, pagrindinės kūgio ašies ir liestinės galinėje ašies dalyje. „Apollonius“ naudojo šiuos santykius, kad būtų galima nustatyti pagrindines kūgio savybes.

Vėlesnė matematikos koordinatinių sistemų plėtra atsirado tik tada, kai algebra buvo brandinta dėka islamo ir Indijos matematikų.

Kol renesanso geometrija buvo panaudota algebrinių problemų sprendimui pagrįsti, tačiau algebra nebuvo labai naudinga geometrijai.

Tokia situacija pasikeis, jei būtų priimta patogi algebrinių ryšių ir matematinės funkcijos koncepcijos, kuri dabar buvo įmanoma, raida.

XVI a

XVI a. Pabaigoje prancūzų matematikas François Viète pristatė pirmąją sisteminę algebrinę notaciją, naudodamas raides, žyminčias skaitmeninius kiekius, žinomus ir nežinomus.

Jis taip pat sukūrė galingus bendruosius algebrinės raiškos ir algebrinių lygčių sprendimo metodus.

Dėl šios priežasties matematikai nebuvo visiškai priklausomi nuo geometrinių figūrų ir geometrinės intuicijos sprendžiant problemas.

Net kai kurie matematikai pradėjo atsisakyti standartinio geometrinio mąstymo būdo, pagal kurį tiesiniai ilgių ir kvadratų kintamieji atitinka sritis, o kubinis - apimtis.

Pirmasis žingsnis buvo filosofas ir matematikas René Descartes, teisininkas ir matematikas Pierre de Fermat.

Analitinės geometrijos pagrindas

Descartes ir Fermat nepriklausomai įkūrė analitinę geometriją 1630-aisiais, priėmęs Viète algebrą lokusui tirti.

Šie matematikai suprato, kad algebra buvo didelės galios geometrija ir išrado tai, kas dabar vadinama analitine geometrija.

Išankstinė pažanga buvo įveikti „Viète“, naudojant laiškus, rodančius atstumus, kurie yra kintami, o ne fiksuoti.

Descartes naudojo geometriškai apibrėžtas kreives ištyrinėjęs lygtis ir pabrėžė, kad reikia atsižvelgti į bendrąsias polinomų lygčių algebrines-grafines kreives laipsniais „x“ ir „y“.

Savo ruožtu Fermatas pabrėžė, kad bet koks ryšys tarp „x“ ir „ir“ koordinačių lemia kreivę.

Naudodamasis šiomis idėjomis, jis restruktūrizavo Apolloniaus teiginius apie algebrinius terminus ir atkurė kai kuriuos prarastus darbus.

„Fermat“ nurodė, kad bet kokia kvadratinė lygtis „x“ ir „y“ gali būti įterpta į vienos formos kūgio formos standartinę formą. Nepaisant to, Fermat niekada nepaskelbė savo darbo šiuo klausimu.

Dėl savo pažangos, ką Archimedas galėjo išspręsti tik labai sunkiai ir atskirais atvejais, „Fermat“ ir „Descartes“ galėjo ją greitai išspręsti ir dėl daugelio kreivių (dabar vadinamų algebrinėmis kreivėmis).

Tačiau jo idėjos įgijo tik bendrą pritarimą kitų matematikų pastangomis XVII a. Antroje pusėje.

Matematikai Frans van Schooten, Florimond de Beaune ir Johan de Witt padėjo išplėsti Decartes darbą ir papildė svarbią papildomą medžiagą.

Įtakos

Anglijoje Johnas Wallisas populiarino analitinę geometriją. Jis naudojo lygtis, kad apibrėžtų kūgius ir gautų jų savybes. Nors jis laisvai naudojosi neigiamais koordinatais, tai buvo Izaokas Niutonas, kuris naudojo dvi įstrižas ašis, kad padalintų plokštumą į keturis kvadrantus.

Niutonas ir vokiečių Gottfriedo Leibnizas sukėlė revoliuciją matematikai XVII a. Pabaigoje, savarankiškai parodydami skaičiavimo galią.

Newtonas parodė analizės metodų svarbą geometrijoje ir jos vaidmenį skaičiavime, kai teigė, kad bet kokiame kubelyje (arba bet kokio trečiojo laipsnio algebrinėje kreivėje) yra trys arba keturios standartinės lygtys tinkamoms koordinatinėms ašims. Naudodamasis pats Newtonas, Škotijos matematikas Johnas Stirlingas jį išbandė 1717 m.

Analitinė trijų ir daugiau matmenų geometrija

Nors ir Descartes, ir Fermat pasiūlė naudoti tris koordinates, kad ištirtų kreives ir paviršius erdvėje, trimatė analizinė geometrija lėtai išsivystė iki 1730 m.

Matematikai Euleris, Hermanas ir Clairautas sukūrė bendrąsias cilindrų, kūgių ir revoliucijos paviršių lygtis.

Pavyzdžiui, Euler naudojo lygtis vertimams erdvėje, kad transformuotų bendrą kvadratinį paviršių, kad jo pagrindinės ašys sutaptų su jos koordinatinėmis ašimis.

Euler, Joseph-Louis Lagrange ir Gaspard Monge atliko analitinę geometriją, nepriklausomą nuo sintetinės (ne analitinės) geometrijos.